Den Wachstumsfaktor berechnen - so geht's exponentiell

Exponentielles Wachstum - was ist das?

• Egal, ob Krankheitskeime, Hefezellen, Hasen in einer Ökonische oder Kapital bei der Verzinsung: Das Wachstum all dieser Dinge lässt sich meist (in gewissen Zeitgrenzen) mit einer Exponentialfunktion beschreiben.
• Dies bedeutet, dass nach einer bestimmten Zeit, der sogenannten Verdopplungszeit, sich die Anzahl der Zellen, Tiere etc. verdoppelt hat. Ist dieser Zeitraum wiederum verstrichen, hat sich die Größe der Population vervierfacht.
• Man spricht von exponentiellem Wachstum, da die Anzahl der Individuen in Form von Potenzen wächst. 
• Die dazugehörige Exponentialfunktion hat meist die Form N(t) = A _* exp (k _* t) = A _* e^k_* t. Dabei bedeuten N(t) die Anzahl zu einer bestimmten Zeit t, A die Anfangspopulation und k der Wachstumsfaktor dieser Exponentialfunktion (mit der Eulerzahl e = 2,71).
• Die Größe "k" entscheidet, wie schnell und in welchem Umfang die Anzahl in der betrachteten Population wächst. Je größer der Wachstumsfaktor, desto größer die Anzahl nach einer bestimmten festgelegten Zeit.

Den Wachstumsfaktor berechnen - so wird`s gemacht

1. Bei den meisten Anwendungen und Aufgaben kennen Sie die Anzahl am Anfang (beispielsweise 2 Hefezellen oder ein Kapital von 1000 Euro) und haben - zum Beispiel in einem Experiment - die Population nach einer festgelegten Zeit ermittelt.
2. Aus den Daten sollen Sie nun den Wachstumsfaktor k (und oft auch die Verdopplungszeit) berechnen. Gerade für Hygienemaßnahmen und die Eindämmung von Krankheiten sind beide Werte von enormer Wichtigkeit.
3. Setzen Sie in die Ausgangsfunktion N(t) zunächst den Anfangswert A aus der Aufgabenstellung ein.
4. Nun setzen Sie in die Exponentialfunktion Ihre weiteren Größen ein: Sie kennen ja die Anzahl zu einer bestimmten Zeit. Beide Werte können für N sowie für t eingesetzt werden. Es verbleibt die Wachstumskonstante als einzige Unbekannte. Durch geschicktes Logarithmieren können Sie sie berechnen.

Wachstumsfaktor - ein durchgerechnetes Beispiel

1. Sie beginnen eine Hefezellenzucht mit 4 Zellen (A = 4). Nach einer Zeit t = 8 Stunden zählen Sie die Anzahl der Hefezellen zu N = 80. Berechnen Sie den Wachstumsfaktor dieser Zucht.
2. Für die Exponentialfunktion haben Sie N(t) = 4 _* e^k_* t als Startfunktion.
3. Setzen Sie Ihre Messwerte ein und Sie erhalten: 80 = 4 _* e^k_* 8
4. Formen Sie den Ausdruck um (durch 4 teilen): 20 = e^k_* 8
5. Bilden Sie nun auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus ln (logarithmieren): ln 20 = k _* 8 (Anmerkung: Der natürliche Logarithmus ist die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion und "besetigt" auf der rechten Seite die Potenz, sodass Sie an den Wachstumsfaktor "herankommen").
6. Die linke Seite dieser Bestimmungsgleichung für den Wachstumsfaktor "k" können Sie mit dem Taschenrechner berechnen und erhalten: 3 = k _* 8 und k = 0,375