Tangente und Sekante berechnen - so geht's

Um die Tangente oder Sekante einer bestimmten Funktion zu berechnen, benötigen sie ausser der Funktion mindestens einen, bzw. zwei x-Werte. Diese müssen demnach vorgegeben sein. Eventuell sind auch schon ein, bzw. zwei Schnittpunkte vorgegeben, somit erübrigt sich die Berechnung des y-Wertes bzw. der y-Werte. Die Funktion der Tangente lautet: t(x) = mx+n. Dabei ist m der Anstieg und n der Schnittpunkt mit der y-Achse.

Wie berechnet man die Tangente einer bestimmten Funktion?

Zum besseren Verständnis sei die Funktion f mit f(x) = 2x²-3x+5 als Beispiel vorgegeben. Die Tangente soll an der Stelle x = 2 angelegt werden.

1. Sie berechnen nun den Anstieg m der Funktion an der Stelle x = 2. Der Anstieg der Funktion ist auch gleich die Ableitung dieser, also f '(x) = 4x-3.
2. Wenn Sie nun den x-Wert in f ' einsetzen, haben Sie den Anstieg der Funktion UND der Tangente an der Stelle x = 2 : f '(2) = 5.
3. Im nächsten Schritt suchen Sie den y-Wert an der Stelle x = 2, also f(2). Setzen Sie hierfür den Wert 2 in die Funktion f(x) ein. Sie erhalten das Ergebnis f(2) = 7.
4. Nun benötigen Sie nur noch den Schnittpunkt mit der y-Achse, um die Funktion t(x) aufzustellen. Da m, y und x bereits bekannt sind, werden diese Werte nun in die Funktion t(x) = mx+n eingesetzt und nach n umgestellt: Variablen eingesetzt 7 = 5x2+n | - (5x2) , nach n umgestellt n = -3.
5. Sie erhalten nun die Funktion t(x) = 5x-3.

Wie berechnet man die Sekante einer bestimmten Funktion?

Wir bleiben bei der Beispielfunktion f mit f(x) = 2x²-3x+5 und dem x-Wert x₁ = 2. Da wir zur Sekantenberechnung jedoch wenigstens zwei x-Werte benötigen, wird ein zweiter mit x₂ = 0,5 vorgegeben. Die Sekante g wird wie folgt berechnet:

1. Wie bei der Tangentenberechnung beginnen Sie mit der Ermittlung des Anstiegs m. Da Sie nun aber zwei Schnittpunkte mit der Funktion haben, ist eine Berechnung über die Ableitung, wie im Fall der Tangente, nicht möglich. Um diese Schnittpunkte zu berechnen, gehen Sie genau wie im Schritt 3 der Tangentenberechnung vor, setzen nun aber zwei x-Werte in f ein und erhalten demnach auch zwei y-Werte. Der Anstieg m wird dann über das Steigungsdreieck ermittlet. So lautet dann die Formel für m_s : f(x₂) - f(x₁) / x₂ - x₁, also 4 - 7 / 0,5 - 2. Demnach ist der Anstieg der Sekante m_s = 2. Die Sekante verläuft also durch die Punkte P(2/7) und Q(0,5/4) (Schnittpunkte von f und g).
2. Als nächstes benötigen Sie, wie bei der Tangentenberechnung, den Schnittpunkt mit der y-Achse n. Setzen Sie die ermittelten Werte m und y in die Sekantenfunktion g ein: 7 = 2x2+n, bzw. 4 = 2x0,5+n. Stellen Sie nun wieder nach n um und Sie erhalten n = 3.
3. Sie haben jetzt wieder die notwendigen Informationen um die Funktion der Sekante aufzustellen. Setzen Sie also diese in die Funktion g(x) = mx+n ein. Die Funktion der Sekante lautet demnach g(x) = 2x+3.