Exponentielles Wachstum - am Beispiel erklärt

Exponentielles Wachstum - wo können Sie so etwas beobachten?

Ein exponentielles Wachstum liegt in vielen Bereichen der Natur vor. Im Gegensatz zum linearen Wachstum ist der Zuwachs zwischen zwei Perioden nicht konstant, sondern steigt exponentiell an.

• Als typisches Beispiel lassen sich Bestände von Populationen in bestimmten Gebieten mit exponentiellem Wachstum beschreiben, in denen das Tier auf keine natürlichen Feinde stößt.
• So könnten Sie sich z. B. eine Hasenpopulation vorstellen, die zu Beginn aus lediglich zwei Hasen besteht. Diese zeugen nach kurzer Zeit Nachwuchs und vermehren sich dadurch. Sobald die Jungtiere ausgewachsen sind, können diese wieder Nachwuchs zeugen usw.

So verstehen Sie den Wachstumstyp anhand eines Beispiels

• Die Formel für exponentielles Wachstum lautet: B(t) = B(0)*a^t. Alternativ können Sie das Wachstum auch rekursiv durch B(t+1) = a*B(t) beschreiben.
• B(0) beschreibt dabei den Bestand zum Zeitpunkt t = 0. Im Hasenbeispiel wären dies also gerade die zwei Hasen. B(t) beschreibt den Bestand einer Population zum Zeitpunkt t. Die Perioden können dabei Tage, Monate, Jahre oder irgendwelche anderen Zeitspannen betragen.
• Bei a handelt es sich um den sogenannten Wachstumsfaktor, also die Rate, mit der die Population wächst. Je größer a ist, desto stärker wächst damit auch die Population. Ist a < 1, dann schrumpft die Population sogar.
• Beispiel: Sie haben eine Hasenpopulation, die 20 Hasen beträgt. Diese wächst monatlich exponentiell um 20 %. Nach wie vielen Monaten umfasst die Population 100 Hasen?
• Machen Sie sich zuerst die Variablen klar. Es gilt B(0) = 20 und a = 1,2. B(t) soll dabei 100 sein, wobei t zunächst unbekannt ist. Es gilt also 100 = 20*1,2^t <=> 5 = 1,2^t <=> ln 5 = ln 1,2^t <=> t = ln 5 / ln 1,2 = 8,83. Die Hasenpopulation übersteigt also nach etwa 9 Monaten 100 Hasen.

Machen Sie sich am besten weitere einfache Beispiele, dann beherrschen Sie diesen Wachstumstyp sicher.