Begrenztes Wachstum - die Formel richtig anwenden

Begrenztes Wachstum - die logistische Wachstumsfunktion

• Echte Wachstumsprozesse wie die Ausbreitung von Krankheiten, die Größe einer Bakterienkultur, die Weltbevölkerung und (wahrscheinlich) auch das Geld auf Ihrem Konto, wachsen nicht ins Unbegrenzte, sondern verlangsamen sich und streben im Allgemeinen einem Grenzwert, auch Sättigung genannt, entgegen. 
• Diese Abflachung des Wachstums können Sie in einem mathematischen Modell erfasse, bei dem dem exponentiellen Wachstum eine abschwächende Depression sozusagen als Gegenspieler entgegensteht.
• Begrenztes Wachstum kann in dieser Form als so genannte logistische Wachstumsfunktion ausgedrückt werden, die diese beiden gegenläufigen Trends beinhaltet.
• Die Formel für diese Funktion ist allerdings nicht leicht. Sie lautet: N(t) = N_{o *} exp(kt) / (1 + d/k _* N_{o *} (exp(kt) - 1)). 
• Dabei bedeuten N(t) die Anzahl (von Bakterien oder Kranken oder was auch immer Sie betrachten) zu einem bestimmten Zeitpunkt t.
• N_o ist der Bestand zu Beginn der Betrachtung (der sich dann vergrößert).
• k ist der Wachstumsfaktor dieses Bestandes.
• d ist der Degressionsfaktor dieses Bestandes.
• Der Nenner dieser Formel zeigt das reine exponentielle Wachstum, der Zähler dieser logistischen Funktion spiegelt den Abbremsprozess (die Degression) wieder. Dort spielt das Verhältnis k/d, also Wachstum gegenüber Degression die Hauptrolle.
• Der Graph dieser Funktion hat einen typischen s-förmigen Verlauf, das heißt, nach einem Anstieg flacht die Kurve zu einer Wachstumsgrenze bzw. Sättigungswert (der übrigens k/d) ist ab. Meist ist d sehr viel kleiner als k.

Die Formel anwenden - ein Beispiel

Daten zur Volkszählung in den USA, für die als Startjahr das Jahr 1790 gewählt wurde (also t = 0) ergaben in diesem Jahr eine Bevölkerungszahl N_o = 3,9 x 10⁶. Die Werte der (dazugehörigen) logistischen Funktion lauten k = 0,03134 und d = 1,5887 x 10^-10. Die logistische Wachstumsfunktion zu diesem Beispiel ergibt sich:

1. N(t) = 3,9 x 10⁶_* exp (0,03134 t) / (1 + 1,977 x 10^-2 _* (exp (0,03134 t) - 1)). Hierzu wurden lediglich die aus der Aufgabe gegebenen Werte in die Wachstumsformel eingesetzt. Mit N(t) lässt sich die (prognostizierte) USA-Bevölkerung zu jedem beliebigen Jahr nach 1790 berechnen. Beachten Sie, dass Sie für t jeweils die Differenz zu 1790 einsetzen müssen. 
2. Die Prognose für das Jahr 1950 (t = 1950 - 1790 = 160) berechnen Sie zu N (160) = 1,48 x 10⁸, das sind knapp 150 Millionen Menschen. Zum Vergleich: Der tatsächliche Wert betrug 150,7 Mio Menschen im Jahr 1950.
3. Als Obergrenze für die Bevölkerungszahl berechnen Sie nach dem Modell von Verhulst den Wert k/d = 1,97 x 10⁸, also knapp 200 Millionen. Hier zeigen sich deutlich die Grenzen solcher Modelle für begrenztes Wachstum.