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Kubisches Wachstum - Erklärung

Autor: Fabian Feldberger

Inhaltsverzeichnis

Wachstumsprozesse lassen sich mit Hilfe von Wachstumsfunktionen modellieren.
Wachstumsprozesse lassen sich mit Hilfe von Wachstumsfunktionen modellieren.
An der Schule werden Sie zunächst das lineare Wachstum kennenlernen. Später erfahren Sie dann alles über das quadratische und schließlich das exponentielle Wachstum. Es gibt aber auch ein kubisches Wachstum, das allerdings in der Praxis eine eher untergeordnete Rolle spielt.

Was Sie benötigen

  • Wachstumsfunktion
  • Anfangsbestand

Kubisches Wachstum - einige Grundüberlegungen

In der Schule werden Sie den Begriff kubisches Wachstum wahrscheinlich nie gehört haben. Kubische Funktionen haben Sie höchstwahrscheinlich aber sehr wohl kennengelernt. Diese haben die Form f(x) = ax3+bx2+cx+d mit a ungleich 0 und a, b, c, d aus den reellen Zahlen. Es sind also ganzrationale Funktionen dritten Grades.

  • Mit diesem Hintergrundwissen könnten Sie bereits ein kubisches Wachstum modellieren und eine entsprechende Wachstumsfunktion aufstellen.
  • Im einfachsten Fall setzen Sie einfach a = 1 und b = c = d = 0, dann erhalten Sie die Funktion f*(x) = x3, die ein kubisches Wachstum beschreibt.

Lineares, quadratisches und kubisches Wachstum

  • Allgemein können Sie sich die verschiedenen verwandten Wachstumsformen auch auf andere Art und Weise herleiten.
  • Das lineare Wachstum wächst in jedem Zeitintervall gleich. Wächst Ihre Ausgangsgröße von t = 0 nach t = 1 um eine Einheit, dann wächst sie auch von t = 1 nach t = 2 um eine Einheit und so weiter. Es gilt also für den Bestand nach t Jahren B(t) = B(0)+at, wobei B(0) der Anfangsbestand und a der Zuwachs pro Periode ist.
  • Beim quadratischen Wachstum hingegen ist die Zunahme quadratisch, das bedeutet, dass Sie nach der doppelten Zeit den vierfachen Bestand haben. Es gilt B(t) = B(0)+at2. Ein typisches Beispiel wäre der Benzinverbrauch in Abhängigkeit der Fahrtgeschwindigkeit. Dieser nimmt bei Erhöhung der Geschwindigkeit näherungsweise quadratisch zu.
  • Kubisches Wachstum setzt diese Reihe logisch fort und es gilt B(t) = B(0)+at3.
  • Angenommen Sie haben einen Anfangsbestand von B(0) = 100 gegeben und a = 2. Dann können Sie die Werte B(1) = 100+2*13 = 102, B(2) = 100+2*23 = 116, B(3) = 100+2*33 = 154 und B(4) = 100+2*43 = 228 berechnen. Sie sehen, in der doppelten Zeit (zum Beispiel Vergleich von t = 0 bis t = 2 und t = 0 bis t = 4) wächst die Population um das Achtfache (16 gegenüber 128).

Für die Praxis wichtiger ist das exponentielle Wachstum, mit dem Sie Populationen von Tieren sehr gut modellieren können.

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