e hoch x auflösen - so gelingt's

So können Sie e hoch x auflösen

Bei der Berechnung von exponentiellem Wachstum oder exponentiellem Zerfall wird die Exponentialfunktion, meist auch e-Funktion genannt, angewendet

• Wenn Sie mit solchen Funktionen rechnen, müssen Sie auch eine Gleichung der Form e hoch x = Zahl, mathematisch genauer: e^x = a, nach der Unbekannten x auflösen.
• Dabei hilft ein einfacher Trick, an die Unbekannte "x" heranzukommen: Sie bilden auf beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus ln. Zur Erinnerung: Der Logarithmus, egal zu welcher Basis, ist immer eine Frage nach der Hochzahl - in diesem Fall nach dem "x", das Sie berechnen wollen.
• Wenn Ihnen diese Rechenoperation zunächst fremd erscheint, sollten Sie sich noch einmal ins Gedächtnis rufen, wie Sie quadratische Gleichungen (also x² = a) auflösen. Dort bilden Sie nämlich auch einfach die Gegenoperation zum Quadrieren, nämlich das Wurzelziehen. Genauso ist es bei Gleichungen der Form e^x. Der natürliche Logarithmus ist hier die Gegenoperation zur e-Funktion.

Sollte die Exponentialgleichung, die Sie lösen sollen, nicht in der Form "e hoch x" vorliegen, dann müssen Sie die Gleichung zunächst mithilfe der Potenzgesetze auf diese Form bringen. Erst dann wird der natürliche Logarithmus angewendet.

Einfaches Beispiel für Exponentialgleichungen

Die Vorgehensweise soll an einem einfachen Beispiel erläutert werden. Gegeben sei die Gleichung e hoch x = 2, mathematisch formuliert e^x = 2, die Sie nach x auflösen sollen. Derartige Gleichungen ergeben sich häufig bei der Berechnung von Halbwertszeiten oder Wachstumszeiten.

1. Bilden Sie zunächst auf beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus: ln (e^x) = ln 2.
2. Nun gilt ln (e^x) = x. Einsichtig wird dieser Schritt, da man weiß, dass "ln" und "e hoch" Gegenoperationen sind, sich also salopp gesagt "gegenseitig auslöschen". Sie können auch die Logarithmengesetze nutzen und erhalten ln (e^x) = x _* ln e = x, da ln e = 1.
3. Sie erhalten damit also x = ln 2.
4. Nun benötigen Sie eigentlich nur noch Ihren Taschenrechner (oder eine Logarithmentafel), um ln 2 zu berechnen.

Soll die Gleichung e^2x-2 = 15 gelöst werden, wird ebenfalls logarithmiert. Dabei entsteht 2x-2 = ln 15. Diese Gleichung können Sie leicht auflösen.