Zerfallsgleichungen erstellen - so gelingt`s

Exponentieller Zerfall - was ist das?

Egal, ob Sie sich mit dem radioaktiven Zerfall, mit biologischen Themen oder einfach nur mit Bierschaum auseinandersetzen. Alle diese Vorgänge haben sehr viel Gemeinsames, nämlich Zerfallsgleichungen, die das zeitliche Fortschreiten des Zerfalls beschreiben.

• Charakteristisch für solch einen Zerfall ist die sogenannte Halbwertszeit T₁/2. Damit ist der Zeitraum gemeint, in dem von der ursprünglichen Menge, egal ob es sich um eine radioaktive Substanz, um eine Anzahl bestimmter Zellen oder um die Höhe des Bierschaums in Ihrem Glas, nur noch die Hälfte da ist.
• Die andere Hälfte hat sich umgewandelt, beispielsweise in ein anderes chemisches Element, ist abgestorben oder einfach als kleine Bläschen geplatzt, wie im Fall des Bierschaums.
• Nach dem gleichen Zeitabschnitt ist nur noch 1/4 der ursprünglichen Menge vorhanden etc.
• Im Gegensatz zum exponentiellen Wachstum, bei sich in gleichen Zeitabschnitten (Verdopplungszeit) die Menge verdoppelt, handelt es sich hier um einen exponentiellen Zerfall, bei dem sich die noch vorhandene Menge in gleichen Zeitabschnitten (Halbwertszeit) jeweils halbiert. 

Die allgemeine Form der Zerfallsgleichung

Genauso wie Sie Wachstumsprozesse mithilfe der Exponentialfunktion beschreiben können, gelingt es auch, Zerfallsprozesse zu beschreiben.

• Sie müssen lediglich beachten, dass das Argument der Exponentialfunktion (also die Potenz) beim Zerfall negativ wird.
• Die allgemeine Form solchen Zerfallsgleichungen lautet: N(t) = N_o* exp (-k _* t) = N_o* e^{-k _* t}.
• In dieser Zerfallsgleichung ist "t" die Zeitvariable (in Tagen, Minuten...); N_o ist die Menge an Substanz am Anfang der Zerfalls, also zur Zeit t = 0, wenn Sie Ihre Messung oder Beobachtung beginnen. Die Konstante "k" ist ein Maß für die Geschwindigkeit des Zerfalls und hängt von der Halbwertszeit des betrachteten Prozesses ab. 
• Mit der angegebenen Zerfallsgleichung können Sie - vorausgesetzt Sie wissen die Startmenge und die Halbwertszeit - die Restmenge N(t) zu jeder beliebigen Zeit berechnen. 

Zerfallsgleichungen aufstellen - so gehen Sie vor

Als Beispiel für Zerfallsgleichungen sei der sehr anschaulich demonstrierbare Bierschaumzerfall gewählt.

1. Am Anfang betrage die Höhe des Schaums bei einem frisch gezapften Bier 4 cm. Mit einer Stoppuhr, Lineal und einer guten Beobachtung gewappnet konnten Sie feststellen, dass schon nach 5 Minuten nur noch die Hälfte des Schaums übrig war, seine Höhe also nur noch 2 cm betrug.
2. In diesem Beispiel beträgt N_o = 4 cm und T₁/2 = 5 Min.
3. Wie aber lautet die Zerfallsgleichung, mit der Sie die Schaumhöhe zu jeder beliebigen Zeit ausrechnen können?
4. Dazu machen Sie wieder den oben angegebenen Ansatz für Zerfallsprozesse: N(t) = N_o* exp (-k _* t), setzen zunächst N_o = 4 ein und erhalten:N(t) = 4 _* exp (-k _* t).
5. Nun müssen Sie noch aus der Halbwertszeit die Zerfallskonstante k berechnen.
6. Sie wissen: 2 cm = 4 cm _* exp (-k _* 5), schließlich haben Sie nach t = 5 Min. nur noch die Hälfte des Schaums.
7. Aus dieser Gleichung können Sie die Konstante k berechnen. Umformen ergibt: 1/2 = exp (-k _* 5).
8. Durch Logarithmieren auf beiden Seiten erhalten Sie: ln (1/2) = - k _* 5.
9. Und Sie berechnen: k = 0,14 (auf zwei Nachkommastellen gerundet).
10. Sie erhalten für das Bierschaumbeispiel die Zerfallsgleichung: N(t) = 4 _* exp (-0,14 _* t).
11. Rechnen Sie doch einmal aus, nach welcher Zeit t der Bierschaum extrem klein geworden ist, nämlich weniger als 0,1cm.
12. Aus dem Berechnungspunkt 9. können Sie übrigens den Zusammenhang zwischen Halbwertszeit und Zerfallskonstanten ersehen und die (einfache) Formel k = ln (1/2) / T₁/2 herleiten.

Und wie sind Ihre Erfahrungen mit dem Zerfall des Bierschaums?