Sättigungskurve berechnen - so geht es

Sättigungskurve - verständlich erklärt

Reale Wachstumsprozesse, egal ob bei Bäumen, Bakterien oder Bevölkerungen, verlangsamen sich im Laufe der Zeit, beispielsweise, weil sich die Umgebungsbedingungen verschlechtern (Nahrung, Energie, Müll ...) oder es einfach biologische Grenzen gibt wie beispielsweise der Wassertransport in die Baumwipfel.

• Der anfängliche exponentielle Anstieg (Stichwort: Exponentialfunktion) verlangsamt sich, die Kurve als grafische Darstellung des mathematischen Problems flacht ab und erreicht letztendlich früher oder später einen Sättigungswert.
• Dieses Verhalten kann man mathematisch modellieren, indem das (anfängliche) Wachstum durch eine Art Depressionsanteil abgeschwächt wird. Diese Depression kann durch eine Konstante, die in der Regel sehr klein ist und erst nach längerer Zeit Wirkung zeigt, ausgedrückt werden.
• Dadurch wird die anfängliche Funktion natürlich komplizierter, Mathematiker bezeichnen diese Sättigungskurve auch als logistische Funktion, die als Grenze des Wachstums den Sättigungswert annimmt.
• Mathematisch hat eine (einfache, es gibt durchaus kompliziertere) Sättigungskurve die Funktionsgleichung: f(t) = a - b _* exp(-k _* t) = a - b _* e^-k_*t
• Dabei bedeutet t die Zeit (in Jahren, Stunden ...), f(t) ist die anwachsende Größe (Baumlänge, Anzahl der Bakterien ...), a der Sättigungswert und k eine Größe, die die Dämpfung des Wachstums beschreibt.

Beispiel: Sättigungskurve berechnen

Es sei das Wachstum von Sonnenblumen als Beispiel angenommen.

1. Aus den Wachstumsbedingungen weiß man, dass die Höhe der Sonnenblume (etwa) einer Sättigungskurve f(t) = a - b _* exp(-0,5 _* t) folgt, der Depressionsfaktor k = 0,5 sei also bereits bekannt.
2. Weiterhin ist bekannt, dass die Sonnenblume nach 5 Wochen eine Höhe von 0,6 m und nach 8 Wochen eine Höhe von 1,2 m hat.
3. Aus diesen beiden Messungen lassen sich die beiden Unbekannten a und b bestimmen und damit die Sättigungskurve berechnen (aus der sich übrigens dann der Sättigungswert für dieses Wachstum ergibt).
4. Dazu setzt man die beiden Wachstumspunkte in die Funktion ein, es ergeben sich zwei Gleichungen mit 2 Unbekannten:
5. f(5) = 0,6  sowie f(8) = 1,2
6. ergibt 0,6 = a - b _* exp(-0,5 _* 5)
7. sowie 1,2 = a - b _* exp(-0,5 _* 8)
8. Der Exponentialausdruck kann mit dem Taschenrechner errechnet werden, sodass sich zwei einfach lösbare Gleichungen mit den Unbekannten a und b ergeben.

Lösung zur Kontrolle (Rundungen auf zwei Nachkommastellen): a = 1,23 (gleichzeitig Sättigungswert, also Endhöhe der Sonnenblume) b= 1,7.