Exponentielle Abnahme - Formel erklärt

Exponentielle Zerfallsprozesse - die Formel

• Ähnlich, wie sich exponentielle Wachstumsprozesse (die berühmten Bakterien zum Beispiel) mithilfe einer Exponentialfunktion darstellen lassen, ist dies auch für Zerfallsprozesse, also exponentielle Abnahmen einer bestimmten Größe möglich.
• Hier gilt die allgemeine Funktionsformel N(x) = N_{o *} exp (-kx) oder in anderer Schreibweise N(x) = N_{o *} e^-kx. Die Variable x kann hier die Zeit sein, aber auch jede andere Größe, von der die Abnahme abhängt.
• Die Formel enthält weitere für die Beschreibung der exponentiellen Abnahme wichtige Konstanten, nämlich N_o sowie k. N_o ist hier der Anfangswert der Größe, beispielsweise die Anzahl der Teilchen (oder Bakterien) am Anfang Ihrer Beobachtung.
• k heißt Zerfallskonstante und ist in diesem Fall eine positive Zahl. Sie ist ein Maß für die Schnelligkeit des Zerfalls bzw. der Abnahme. k hängt auch mit der Halbwertszeit des Zerfalls zusammen, und zwar über die Formel T_1/2 = ln (2) / k.

Abnahme von Bierschaum - ein Beispiel

Bierschaum folgt (grob gesprochen) einem exponentiellen Zerfall, das heißt, seine Abnahme in einem schön gefüllten Bierglas folgt der oben genannten Zerfallsformel. Dabei verhalten sich unterschiedliche Biere natürlich auch unterschiedlich.

• Für das Beispiel nehmen Sie ein schön eingeschenktes Weizenbier an, das beim Startpunkt Ihrer Messungen eine 3 cm hohe Schaumkrone aufweist. Nach 4 Minuten ist sie nur noch halb so groß. Sie sollen das Zerfallsgesetz für diesen Prozess aufstellen.
• Zunächst einmal wählen Sie für die Variable x die Zeit t in Minuten. N(t) ist dann die Höhe des Bierschaums (in cm) zur Zeit t. Die Konstante N_o = 3 cm haben Sie bereits aus der Aufgabe.
• Sie müssen also lediglich die Zerfallskonstante k berechnen. Hier hilft die Formel für die Halbwertszeit T_1/2 = ln (2) / k weiter. Sie kennen T_1/2 = 4 Minuten und berechnen hieraus k = ln (2) / T_1/2 = 0,173 (pro Min).
• Das Zerfallsgesetz für Ihr Bierschaumexperiment lautet also N(t) = 3 _* exp (-0,173_*t).

Vom mathematischen Standpunkt her ist der Bierschaum natürlich nie ganz zerfallen (die e-Funktion wird ja nicht Null). Praktisch ist die Sache zu Ende, wenn die letzte kleine Blase platzt. Aber wann ist der Schaum nur noch mickrig und nicht höher als 1 Millimeter? Setzen Sie N(t) = 0,1 cm ein und berechnen Sie dann aus der Bedingung 0,1 = 3 _* exp (-0,173_*t) die Zeit t = 19,66 min. Wollen Sie wirklich so lange warten? Die Rechnung zeigt die Grenzen des Modells.