Zerfallsfunktion - Erklärung

Was ist eine Zerfallsfunktion?

Zerfallsfunktionen beschreiben mathematisch einen Zerfallsprozess, wie zum Beispiel den radioaktiven Zerfall eines Elementes, das Absterben von Bakterien durch Antibiotikagabe oder den Abbau eines Edukts bei einer chemischen Reaktion.
Mathematisch sind Zerfallsfunktionen Sonderfälle von Wachstumsfunktionen, für die folgende Dinge gelten:

• Wachstumsfunktionen werden durch Exponentialfunktionen mathematisch dargestellt. Diese haben allgemein die Form: f(x) = C * e^k * x.
• C ist dabei die Ausgangskonzentration oder die Ausgangsmenge zum Zeitpunkt 0.
• Wenn die Konstante k größer ist als 0, dann beschreibt die Exponentialfunktion einen Wachstumsprozess mit k als Wachstumskonstante.
• Hat k einen negativen Wert, so liegt eine Zerfallsfunktion vor und k wird als Zerfallskonstante bezeichnet.
• Zerfallsfunktionen sind Exponentialfunktionen, da die Abnahme nicht linear verläuft, sondern natürlich von der Konzentration beziehungsweise der vorhandenen Stoffmenge abhängt.

Aussehen einer Zerfallsfunktion

• Zum Zeitpunkt 0 fällt die Funktion am stärksten. Dies bedeutet, dass zu Beginn der Zerfall am größten ist.
• Mit zunehmender Zeit verläuft die Funktion immer flacher und nähert sich der x-Achse an.
• Der Graph einer Zerfallsfunktion schneidet zu keinem Zeitpunkt die x-Achse.

Zerfallsfunktion mit der Halbwertszeit berechnen

In der Regel wird ein Zerfall mit der Halbwertszeit angegeben. Halbwertzeit bedeutet, dass nach Ablauf dieser Zeit nur noch die Hälfte der Ausgangsmenge vorhanden ist. Mit der Halbwertszeit kann die Zerfallsfunktion bestimmt werden. Dies gelingt Ihnen wie folgt:

1. Allgemein ist die Halbwertszeit t_h. Darauf folgt, dass
   f(t_h) = C * e^k * t_h = 1/2 C ist.
2. Dividieren Sie nun durch C, sodass Sie allgemein e^k * t_h = 1/2 erhalten. 
3. Ziehen Sie nun den Logarithmus. Dadurch erhalten Sie
   k * t_h = ln (1/2) .
4. Dividieren Sie zuletzt durch die Halbwertszeit t_h und Sie erhalten die Zerfallskonstante k = ln (1/2) / t_h .