Eine Ableitung a hoch x durchführen - so geht's

Das ist eine Ableitung

Ableitung ist ein Begriff aus der Mathematik, genauer aus der Differentialrechnung.

• Die Ableitung einer Funktion an einer Stelle x gibt die Steigung der Funktion in genau diesem Punkt an.

• Für die Ableitung werden in der Mathematik folgende Schreibweisen verwendet : f ^'(x) oder df(x)/dx.

• Aus diesem Grund wird die Differentialrechnung, also auch die Ableitung von Funktionen, grundsätzlich bei der Kurvendiskussion verwendet.

Auch auf dem Gebiet der Physik liefern Ableitungen wichtige Erkenntnisse. So kann man durch die Ableitung der Orts-Zeit-Funktion auf die Momentangeschwindigkeit eines Teilchens schließen.

So differenziert man eine Funktion "a hoch x"

Wie alles andere in der Mathematik auch, unterliegt auch die Differentialrechnung strenger Regeln. So gilt es für Sie, bei jeder Funktion aufs Neue zu entscheiden, welche Regeln und Vorgehensweisen Sie anwenden werden. Bei der Ableitung der Funktion "a hoch x" gehen Sie einfach folgendermaßen vor:

1. Notieren Sie sich zunächst die Aufgabenstellung. Bei dieser gilt im Fall "a hoch x": f(x)=a^x , gesucht ist f ^'(x) bzw. df(x)/dx. Da bei solchen Funktionen Regeln wie die Kettenregel nicht funktionieren, müssen Sie diese Funktion zunächst "ableitungsfreundlich" umformen. Das gelingt Ihnen, indem Sie a^x in die Eulerdarstellung bringen. Die Funktion e^x lässt sich problemlos ableiten.
2. Bei der Umformung hilft uns der Logarithmus Naturalis. Dieser liefert uns nämlich folgende Darstellungsmöglichkeit: a^b = e^b*ln(a). Somit können Sie f(x) folgendermaßen darstellen: f(x) = a^x = e^x*ln(a). Diese Funktion können Sie nun problemlos ableiten.
3. Wenden Sie hierbei die Kettenregel an. Diese besagt: f ^'(u(x)) = f ^'(u(x)) *u^'(x).   Hierfür substituieren u(x) zu v. In diesem Fall ist also v = x*ln(a).
4. So ergibt sich für unsere Kettenregel folgende neue Schreibweise:   f ^'(v) = f ^'(v) * v^'.
5. Für den Fall e^x*ln(a) ergibt sich also:  f ^'(v) = (e^v)^' * v^'. Nun können Sie die einzelnen Terme einfach ableiten.
6. e^v bleibt immer e^v.
7. v^' = (x*ln(a))^' = ln(a), da x abgeleitet 1 ergibt und Vorfaktoren bestehen bleiben.
8. Nach Rücksubstitution von v bekommen wir also Folgendes: f ^'(x) = (a^x)^' = (e^x*ln(a) )^' =   e^x*ln(a) * ln(a).

Mit a^x = e^x*ln(a) kommen wir also zum Endergebnis: (a^x)^' = ax * ln(a).