ln x ableiten - die Matheexpertin erklärt, wie es gemacht wird

Um es gleich vorwegzunehmen: Für das Ableiten der natürlichen Logarithmusfunktion f(x) = ln x benötigen Sie die Regel, wie man Umkehrfunktionen ableitet. Bevor Sie jedoch tiefer einsteigen, sei die Lösung schon einmal gesagt: f'(x) = 1/x.

Die Umkehrfunktion ableiten - so wird's gemacht

• Zu vielen Funktionen f(x) gibt es eine sog. Umkehrfunktion, meist f^-1(x) genannt, die man erhält, wenn man Defintions- und Wertebereich vertauscht.
• So ist beispielsweise zu f(x) = x² die Wurzelfunktion f^-1(x) = Wurzel(x) die Umkehrfunktion. Wurde in der ursprünglichen Funktion jeder Zahl das Quadrat zugeordnet, so läuft es hier umgekehrt: Man ordnet jeder Zahl ihre Wurzel zu.
• Etwas verwirrend erscheint hier oft, dass die Funktionszuordnung zwar umgekehrt läuft, jedoch wieder x und y in der ursprünglichen Art benutzt werden.
• Viele (kompliziertere) Funktionen lassen sich schnell und einfach ableiten, wenn man bereits die Ableitung der Umkehrfunktion kennt, so auch der natürliche Logarithmus ln x.
• Die Formel für die Ableitung lautet nämlich: f'(x) = 1/(f^-1)'(f(x).
• Diese Formel mag zunächst ob ihres komplizierten Aufbaus erschrecken. Allerdings lässt sie sich leicht in Worte fassen, die dann auch die Vorgehensweise zeigen: Die Ableitung einer Funktion f(x) ist gleich dem Kehrwert der Ableitung ihrer Umkehrfunktion, und zwar an der Stelle f(x), dem ursprünglichen y-Wert also.

ln x ableiten - so wird's gemacht

• Die natürliche Logarithmusfunktion f(x) = ln x hat als Umkehrfunktion die natürliche Exponentialfunktion f^-1(x) = e^x mit der Eulerschen Zahl e als Basis. 
• Zeichnet man den Graphen der Logarithmusfunktion ln x, so ist diese nur für x-Werte größer als Null definiert und steigt (leicht abflachend) an. Dieses Verhalten der Funktion zeigt schon: Die Ableitung muss stets positiv sein, ein Kennzeichen steigender Funktionen. Zudem hat die Funktion ln x keinen Extremwert, sodass deren Ableitung keine Nullstelle hat.
• Für die Ableitung setzen Sie zunächst f(x) = ln x und f^-1(x) = e^x sowie (f^-1)'(x) = e^x, da die Ableitung der Exponentialfunktion mit dieser identisch ist. Sie setzen nun (f^-1)'(f(x)) = e^lnx , also die ursprüngliche Logarithmusfunktion für jedes x in der Ableitung.
• Nach der Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion erhalten Sie dann: f'(x) = 1/(f^-1)'(f(x) = 1/e^lnx = 1/x (e hoch und lnx heben sich bekanntermaßen gegenseitig auf!).
• Wie oben bereits angegeben, ist die Ableitung der Funktion f(x) = ln x die Funktion f'(x) = 1/x, die für Werte x größer als Null stets positiv ist und keine Nullstelle aufweist.