Änderungsrate in Mathe berechnen - so klappt's für Funktionen

Änderungsrate - was ist das?

• In vielen Naturwissenschaften interessiert es für die Interpretation von Messergebnissen oder Experimenten, wie sich eine gemessene Größe mit der Zeit oder auch mit dem Ort ändert.
• Ein Maß für diese Änderung ist die sog. Änderungsrate. Darunter versteht man bei diskret gemessenen Größen nichts anderes als der Unterschied zweier Messwerte (y₂ - y₁ beispielsweise) geteilt durch den Abstand zwischen beiden Messungen, also die Zeit- (t₂ - t₁) oder Ortsdifferenz (x₂ - x₁). 
• Der Ausdruck (y₂ - y₁) : (x₂ - x₁) als Änderungsrate der Messgröße wird in der Mathematik auch Differenzenquotient genannt.
• Liegen die Messerergebnisse jedoch bereits als Funktion y = f(x) vor, so kann die Änderungsrate ebenfalls als Differenzenquotient berechnet werden, falls man die Änderung in größeren Abständen wissen will.
• Eine punktuelle oder lokale Änderungsrate an der Stelle x_o ergibt sich, wenn man die Ableitung f'(x) (also den Differenzialquotienten) dieser Funktion berechnet und diese in die zu untersuchende Stelle x_o einsetzt: f'((x_o). Der berechnete Wert gibt Auskunft über das Verhalten der Funktion an dieser bestimmten Stelle, wie sich diese dort nämlich ganz lokal ändert, also ob sie steigt, fällt oder beispielsweise keine Änderung aufweist, also ein lokales Extremum vorliegt.

Änderungsrate - ein durchgerechnetes Beispiel aus der Mathematik

• Gegeben sei die Funktion f(x) = x³ +4, ein Art Wachstumspolynom aus der Mathematik.
• Die Änderungsrate dieser Funktion zwischen den beiden x-Werten x₁= 1 und x₂ = 3 soll berechnet werden.
• Zunächst berechnen Sie die beiden zugehörigen Funktionswerte, also y₁ = f(x₁) = f(1) = 1³ + 4 = 5 und y₂ = f(x₂) = f(3) = 3³ + 4 = 31. 
• Die Änderungsrate ist in diesem Fall der Differenzenquotient. Sie  rechnen (y₂ - y₁) : (x₂ - x₁) = (31 - 5) : (3 - 1) = 26 : 2 = 13. Die Funktion steigt in diesem Bereich also stark an.
• Die lokale Änderungsrate für x_o = 2 berechnen Sie mit der Ableitung f'(x) = 3 x². Es gilt f'(x_o) = f'(2) = 3 (2)² = 12. Man sieht, dass die lokale Änderungsrate beim x-Wert 2 in der gleichen Größenordnung liegt wie die Änderungsrate zwischen 1 und 3, was auch anschaulich klar ist.