Nachdifferenzieren mit der Kettenregel - so geht's

Nachdifferenzieren - so erkennen Sie Funktionen

Das Differenzieren von Funktionen ist bei vielen Funktionstypen relativ einfach und erfordert lediglich etwas Übung und ein striktes Anwenden der gängigen Ableitungsregeln (Produkt-, Quotienten- und Kettenregel).

• Die Kettenregel müssen Sie immer anwenden, wenn Sie eine geschachtelte Funktion, also eine Funktion vom Typ u(v(x)) gegeben haben. Ein typisches Beispiel wäre z. B. die trigonometrische Funktion f(x) = sin(2x). Sie erkennen sehr leicht, dass die äußere Funktion die Sinusfunktion ist und die innere Funktion v(x) = 2x.
• Weitere Beispiele für geschachtelte Funktionen wären z. B. g(x) = e^1/3x, h(x) = cos(-4x) oder i(x) = 3x^1/2.
• Immer wenn Sie eine Funktion mit der Kettenregel ableiten, so müssen Sie auch das Nachdifferenzieren anwenden.

Nachdifferenzieren - so wird's gemacht

• Haben Sie eine geschachtelte Funktion, so ergibt sich für deren Ableitung mit der Kettenregel (u(v(x)))' = v'(x)*u'(v(x)). Sie leiten also zunächst die äußere Funktion ab und lassen dabei den inneren Teil unverändert. Im Anschluss müssen Sie nachdifferenzieren und den bisher niedergeschriebenen Teil mit der Ableitung des inneren Teils multiplizieren.
• In einem einfachen Beispiel sei Ihre geschachtelte Funktion durch u(v(x)) = cos(2x²) gegeben. Leiten Sie diesen Term nun mithilfe der Kettenregel ab, dann ergibt sich (cos(2x²))' = -sin(2x²)*4x = -4xsin(2x²). Dabei haben Sie mit der Ableitung der inneren Funktion (v(x) = 2x²) nachdifferenziert.
• Nun sei Ihre geschachtelte Funktion durch u(v(x)) = (3x)^1/2 gegeben. Berechnen Sie nun wieder mithilfe der Kettenregel die Ableitung (Lösung: 3/2*(3x)^-1/2).

Sie sehen, das Ableiten von Funktionen ist nicht schwer. Auch bei geschachtelten Funktionen kommen Sie sicher zum Ziel, wenn Sie das Nachdifferenzieren nicht vergessen!