Logarithmus-Funktion ableiten - so geht's

Wichtige Eigenschaften der Logarithmus-Funktion erlernen

• Beschäftigen Sie sich mit Logarithmus-Funktionen werden Sie feststellen, dass diese Funktion mit dekadischem und natürlichem Logarithmus vorkommt.
• Merken Sie sich, dass die Logarithmus-Funktion eine langsam steigende Funktion ist.
• Beachten Sie, dass bei der Funktion y = log_ax alle x positiv sind und somit der Definitionsbereich zwischen 0 und unendlich liegt.
• Dagegen werden Sie bemerken, dass der y-Wert der Funktion sowohl einen positiven als auch einen negativen Wert annehmen und im Bereich plus unendlich und minus unendlich liegen kann.
• Bei der Ableitung einer Logarithmus-Funktion müssen Sie bestimmte Regeln beachten.

So leiten Sie die Funktion ab

• Berechnen Sie die 1. Ableitung einer ln-Funktion in der Form f(x) = ln(x) so erhalten Sie f`(x) = 1/x = x<sup>-1</sup>.
• Merken Sie sich, dass nach der Faktorregel für f(x) = a <sub>*</sub> ln(x) die 1. Ableitung f`(x) = a _* 1/x lautet, wobei a € R ist. Als Beispiel soll gelten: f(x) = 5 _* ln(x) - f'(x) = 5 _* 1/x = 5x^-1.
• Die nächste Regel, die Sie kennen müssen, um eine Logarithmus-Funktion abzuleiten, ist die Kettenregel. Für f(x) = g (h(x)) gilt die 1. Ableitung f'(x) = g'(h(x)) * h'(x).
• Ein Beispiel soll Ihnen diese Regel verdeutlichen: bei f(x) = ln (6x) ist g(x) = ln(x) mit der Ableitung g`(x) = 1/x und h(x) = 6x mit der Ableitung h'(x) = 6. Somit ist g`(h(x)) = 1/6x. Setzen Sie nun die Werte in die Ableitungsformel der Kettenregel ein, ergibt sich f'(x) = 1/6x * 6 = 1/x.
• Eine weitere Regel, die Summen- und Differenzregel, ist für Sie ebenfalls notwendig, um eine Logarithmus-Funktion abzuleiten. Sie lautet: f(x) = g(x) +/- h(x) = f`(x) = g`(x) +/- h'(x).
• Leiten Sie die Funktion f(x) = ln(x) + 2 _* ln(x²) ab, erhalten Sie nach den bereits bekannten Regeln folgende Ergebnisse: g(x) = ln(x) mit Ableitung g`(x) = 1/x und h = 2 <sub>*</sub> ln(x<sup>2</sup>) mit der Ableitung h`= 2 _* 1/x²_* 2x. Setzen Sie diese Ergebnisse in die Formel für die Summen- und Differenzregel ein, erhalten Sie: f`(x) 1/x + 2 <sub>*</sub> 1/x<sup>2</sup><sub>*</sub> 2x = 5/x.
• Die letzte Regel, um eine Logarithmus-Funktion abzuleiten, ist die Quotientenregel. Sie lautet: f(x) = g(x) / h(x) mit der Ableitung f'(x) = h(x) <sub>*</sub> g'(x) - g(x) <sub>*</sub> h`(x) / (h(x))².
• Folgendes Beispiel soll Ihnen helfen, die Quotientenregel anzuwenden: f(x) = ln(x) / x. Hierbei ist g(x) = ln(x) mit der Ableitung g`(x) = 1/x und h(x) = x mit der Ableitung h`(x) = 1. Setzen Sie die Werte in die Formel der Quotientenregel ein, ergibt sich: f`(x) = x _* 1/x - ln(x) _* 1 / x² = 1 - ln(x) / x².