Ableitung: ln (ln(x))

Ableitung von verschachtelten Funktionen

Die Funktion f(x) = ln (ln(x)) ist verschachtelt, denn Sie erhalten den Funktionswert, in dem Sie zwei verschiedene Anweisungen nacheinander ausführen. Angenommen Sie wollen f(2) bilden, dann müssen Sie zunächst ln 2 berechnen, das ist 0,69.. und danach ln 0,69... So bekommen Sie den Funktionswert von - 0,37.

• Man spricht in der Mathematik von einer Kette aus einer inneren Funktion in dem Fall ln x und einer äußeren Funktion, die ebenfalls ln ist. Zur Verdeutlichung g(x) = (x²+1)³  wäre ebenfalls eine solche verschachtelte Funktion. Die innere Funktion ist i(x) = x²+1und die äußere ä(x) = i(x)³. An diesem Beispiel ist das Prinzip deutlicher zu erkennen als bei der logarithmischen Funktion.
• Solche Funktionen werden nach der Kettenregel abgeleitet. Sie müssen die Äußere Funktion ableiten und die mit der Ableitung der inneren Funktion multiplizieren. Wenn also g(x) = ä(i(x)) ist, dann ist g'(x) = g'(i(x)) * i'(x). Zur Verdeutlichung: g(x) = (x²+1)³  => g'(x) = 3 (x²+1)² * 2 x, dabei ist g'(i(x)) = 3 (x²+1)² und i'(x) = 2 x.

Die Ableitung der Funktion g(x) = (x²+1)³ können Sie natürlich auch ohne die Kettenregel bilden, denn Sie können die Klammern ausmultiplizieren. Dieser Weg bleibt Ihnen bei der logarithmischen Funktion nicht.

Anwendung der Kettenregel auf ln (ln(x))

Die Ableitung von ln x ist 1/x. Ferner gilt f(x) = ln (ln(x)). In dem Fall ist i(x) = ln x und ä(x) = ln (i(x).

1. Bilden Sie nun zuerst die innere Ableitung i'(x). Das ist also 1/x.
2. Berechnen Sie dann ä'(x), also die äußere Ableitung. Diese ist 1/i(x)t, also 1/ln(x), denn i(x) ist ln(x).
3. Jetzt ist es kein Problem f'(x) zu bilden: f'(x) = ä'(x) * i'(x) = 1/ln(x) * 1/x.
4. Dieses Produkt können Sie nach der Regel Zähler mal Zähler durch Nenner mal Nenner zusammenfassen. Sie bekommen also g'(x) = 1/(x(ln(x)).