Steigung einer beliebigen Funktion berechnen - so wird's gemacht

Steigung einer Funktion - die Ableitung

• Eine lineare Funktion (auch Gerade genannt) hat an jeder beliebigen Stelle die gleiche Steigung. Sie finden Sie in der Funktionsgleichung y = mx + b, nämlich der Wert "m".
• Bei allgemeinen oder beliebigen Funktionen sieht die Sache anders aus. Schon eine quadratische Funktion (Parabel) hat in verschiedenen Punkten unterschiedliche Steigungen - mal geht die Funktion steil nach oben, mal steil nach unten und im Scheitel steigt sie gar nicht.
• Aber auch für solche Funktionen lässt sich die Steigung berechnen. Allerdings dürfen Sie keine Zahlenwerte als Steigung erwarten, sondern vielmehr eine Berechnungsformel.
• Dies ist die Ableitung f'(x) der Funktion, die Sie in der Differenzialrechnung kennen gelernt haben.
• Mit der Ableitung können Sie nämlich zu jedem beliebigen Punkt (der x-Wert genügt sogar) die Steigung der Funktion ausrechnen. Sie müssen den x-Wert in die Ableitung einsetzen und den Term berechnen.
• Voraussetzung hierfür ist natürlich, dass Sie für beliebige Funktionen die Ableitung kennen. Hier helfen Formelsammlung (oder das Internet) weiter. Zudem kann die Ableitung von vielen Funktionen mithilfe bekannter Ableitungsregeln berechnet werden.

Steigung berechnen - ein Beispiel zur Vorgehensweise

Sie sollen zur Funktion f(x) = 1/x die Steigung im Punkt x = -2 berechnen und entscheiden, ob die Funktion dort fällt oder steigt.

1. Sie wissen, berechnen oder schlagen die Ableitung von f(x) = 1/x in einer Formelsammlung nach - Hinweis für Rechner: 1/x = x^-1, dann die Regel für Potenzfunktionen anwenden f'(x) = n _* x^n-1     
2. Sie erhalten f'(x) = -1 _* x^-2= -1/x².
3. Nun setzen Sie in diese Ableitung x = -2 ein und erhalten als Steigung f'(-2) = -1/(-2)² = -1/4. Achten Sie darauf, dass Sie die Potenz richtig auflösen.
4. Die Steigung im Punkt x = -2 beträgt also -1/4. Die Funktion fällt dort, da die Steigung negativ ist.