Graphischer Zusammenhang von Funktion und Ableitung - einfach erklärt

Funktion und Ableitung - das sollten Sie wissen

• In den ersten Stunden der Analysis lernen Sie den Begriff der Ableitung zu einer Funktion y = f(x) kennen. Diese wird meistens mit f'(x) bezeichnet und kann nach bestimmten Ableitregeln berechnet werden.
• Was jedoch sagt die Ableitung einer Funktion überhaupt aus? Zunächst einmal gibt sie Auskunft über die Steigung der Funktion, beispielsweise in einem bestimmten, herausgegriffenen Punkt P. Setzen Sie die x-Koordinate dieses Punktes in die Ableitung ein, so berechnen Sie die Steigung der Funktion in diesem Punkt. Zugleich ist dies die Steigung einer dort angelegten Tangente.
• Diese Steigung kann positiv (Funktion steigt an), negativ (Funktion fällt dort ab), aber auch null sein (Funktion hat dort ein lokales Extremum). 
• Mit anderen Worten: Die Ableitung gibt einen Überblick darüber, wie sich eine Funktion in ihren einzelnen Punkten verhält und ermöglicht es gleichzeitig, (lokale) Extrema, also Hoch- bzw. Tiefpunkte, zu berechnen, was Sie in der sog. Kurvendiskussion ja dann auch machen.

Graphischer Zusammenhang - so sieht es in einem Koordinatensystem aus

• Die genannten Sachverhalte zeigen sich natürlich auch in einem Koordinatensystem als graphischer Zusammenhang zwischen Funktion und ihrer Ableitung.
• Wenn Sie die Funktion f(x) und ihre dazugehörige Ableitung f'(x) graphisch darstellen, also beispielsweise mithilfe einer Wertetabelle in ein passendes Koordinatensystem einzeichnen, werden Sie den Zusammenhang der beiden Funktionen ersehen können:
• An den Stellen, an denen die Ausgangsfunktion f(x) Extrema hat, liegen die Nullstellen der Ableitung, schneiden also die x-Achse.
• Steigt die Funktion f(x), dann ist in diesem Bereich die Ableitung f'(x) positiv, liegt also oberhalb der x-Achse.
• Fällt die Funktion f(x), dann liegt die Ableitung f'(x) unterhalb der x-Achse, ist also negativ.
• Ein besonderer Punkt ist noch der Wendepunkt einer Funktion, eine Stelle zwischen zwei unterschiedlichen Extrema. Dort verändert sich die Krümmung der Kurve (von links nach rechts oder umgekehrt). Die Ableitung f'(x) hat bei graphischer Darstellung hier ein Extremum, also einen Hoch- oder Tiefpunkt. Und die zweite Ableitung f''(x) hat dort entsprechend eine Nullstelle. Dies ist übrigens auch die Bedingung zur Berechnung eines (möglichen) Wendepunktes in einer Kurvendiskussion.