Nullstellen berechnen - so funktioniert's korrekt

Nullstellen muss wohl jeder im Laufe der Schulzeit berechnen. Zwar funktioniert die Berechnung von Nullstellen im Detail anders, je nachdem wie kompliziert die zugrunde liegende Funktion ist. Das Prinzip der Berechnung bleibt aber das Gleiche.

Was sind Nullstellen?

• Nullstellen geben an, für welche x-Werte eine Funktion das Ergebnis y=0 liefert. Die Nullstellen liegen immer genau auf der x-Achse eines Graphen zu einer Funktion.
• Unterschiedliche Funktionen können unterschiedlich viele Nullstellen haben. Möglich sind Ergebnisse von gar keiner bis hin zu sehr vielen Nullstellen.
• Bei schwierigeren Funktionen sollten Sie sich vor der Lösung überlegen, um was für eine Funktion es sich genau handelt.
• Wie Sie die Nullstelle berechnen müssen, hängt entsprechend stark von der jeweiligen Funktion an. Wichtig ist, dass Sie immer für y die Zahl 0 einsetzen und dann nach x hin auflösen. Die Ergebnisse für die x-Werte sind dann die Nullstellen.
• Die Nullstellen müssen immer im Definitionsbereich der Funktion liegen. Vergessen Sie also nicht, diese Tatsache zu überprüfen.
• Durch das Einsetzen in die Funktion können Sie Ihre errechnete Nullstelle zur Sicherheit überprüfen.

y = 0 richtig berechnen

• Bei linearen Funktionen setzen Sie, wie gesagt, die Gleichung für y gleich 0 und lösen sie nach x auf. Hier erhalten Sie als Ergebnis genau einen Wert für die einzig vorhandene Nullstelle. Manchmal können Sie auch einfach in die Nullstellen-Form umformen, ohne die Gleichung lösen zu müssen bzw. die Nullstellen einfach aus einer gegebenen Nullstellenform ablesen, ohne zu rechnen.
• Für quadratische Funktionen müssen Sie vor dieser Herangehensweise die PQ-Formel anwenden, um die Funktion in eine lösbare Form zu bringen. Dabei formen Sie die Gleichung in die Form x2 + px + q = 0 um und setzen die Werte von p und q in die PQ-Formel ein. Da Sie hier am Ende die Wurzel ziehen und den Wert einmal addieren und einmal subtrahieren müssen, gibt es hier immer zwei Lösungen. Steht eine negative Zahl unter dieser zu ziehenden Wurzel, gibt es keine Lösung.
• Bei Funktionen noch höheren Grades müssen Sie die Polynomdivision verwenden. Hierbei brauchen Sie einen Term und eine von dessen Nullstellen, die entweder gegeben ist oder durch Probieren gefunden werden muss. Hierbei gilt, dass eine ganzzahlige Nullstelle des Polynoms auch immer ein Teiler des konstanten Terms sein muss. Dann führen Sie die Polynomdivision durch und wenden eventuell erneut die PQ-Formel an. Hier gibt es höchstens so viele Nullstellen, wie der Grad des Polynoms ist. Manchmal können Sie auch eine Potenz von x ausklammern und die erste Nullstelle ist x=0. Wenn die Potenzen alle gerade sind, können Sie zuerst als neue Variable z = x² setzen, um den grad zu reduzieren. Notfalls kann Ihnen auch ein hochwertiger Taschenrechner weiterhelfen, der Gleichungen bis zum 3. Grad löst.

Anwendungsmöglichkeiten und Berechnungsbeispiele

• Um die Nullstelle bei einer linearen Funktion zu ermitteln, setzt man für y=0 ein. So könnten Sie beispielsweise die Funktion f(x)=y=2x+2 ansetzen und erhielten die aufzulösende Gleichung 0=2x+2.  
• Für eine Nullstellenberechnung haben Sie hier eine Gleichung mit x und y nach x umgestellt. Dabei müssen Sie Ihre Gleichung so umformen, dass schließlich x auf einer der beiden Seiten allein steht. Für 0=2x+2 erhalten Sie deshalb zunächst -2=2s und schließlich x=-2/2. Das Ergebnis der Auflösung ist dann, dass Ihre Nullstelle bei x=-2/2 liegt.

Einen Online-Berechner nutzen

Sie finden im Internet einen Online-Nullstellen-Berechner. Hierfür öffnen Sie in Ihrem Browser die Seite von Wolframalpha.

1. Jetzt können Sie im angezeigten Eingabefeld einfach Ihre gewünschte Funktion eingeben. Dabei setzen Sie sie gleich 0. Ein Beispiel dafür sieht so aus: 5x² + 2x = 0. (Achten Sie dabei darauf, dass Sie die Exponenten mit "x hoch y"=x^y darstellen. Dabei finden Sie das Zeichen " ^ " links neben der "1" auf Ihrer Tastatur.)
2. Abschließend klicken Sie einfach auf " = " und fertig.

Jetzt erfolgt die Online-Analyse Ihrer Funktion. Unter "Solutions" erhalten Sie anschließend die gesuchten Nullstellen.

Weitere Autorin: Christine Spranger