Logarithmus umkehren - so geht's

Den Logarithmus genauer betrachten

Beachten Sie folgende Zusammenhänge, dann fällt es Ihnen nicht schwer, einen Logarithmus umzukehren:

• Der Ausdruck log_a(x) ist genau genommen eine Frage. Diese lautet: Mit welcher Zahl müssen Sie a potenzieren, um x zu erhalten (a^?=x)? Der Mathematiker spricht bei log_a(x) von Logarithmus x zur Basis a. Sie müssen also immer eine Basis kennen.
• Zwei Basen sind in der Mathematik so weit verbreitet, dass es eigene Schreibweisen gibt. Es sind die Basen 10 und e. e ist eine mathematische Konstante, die Eulersche Zahl e =  2,71828 18284 59045 23536 …. Derzeit sind 10¹² Stellen der Zahl bekannt.
• ln(x) = log_e(x): Wenn die Basis des Logarithmus e ist, spricht der Mathematiker vom natürlichen Logarithmus oder Logarithmus naturalis. 
• lg(x) = log₁₀(x): Wenn der Basis des Logarithmus die Zahl 10 ist, nennen Mathematiker ihn dekadischer Logarithmus. 

Die Funktion umkehren

Sie können bekanntlich nur eine Funktion umkehren, keinen Therm. f(x) = log_a(x) ist eine Logarithmusfunktion. Diese können Sie auch als y = log_a(x) schreiben.

1. Sie haben eine Zuordnungsvorschrift, die jedem Element der Definitionsmenge ein Element der Zielmenge zuordnet. Vereinfacht ausgedrückt jedem x wird ein y zugeordnet.
2. Beim Umkehren wollen Sie wissen, aus welchem Element der Definitionsmenge ein Ihnen bekanntes Element der Zielmenge entstanden ist. Sie fragen also welches x zu einem bekannten y gehört.
3. Mathematisch ausgedrückt: f^-1(x) = log_a(x) oder x = log_a(y). Diese Funktionsgleichung müssen Sie nun wieder nach y auflösen.
4. Denken Sie an die Definition des Logarithmus x = log_a(y), ist die Frage: y = a^?. Die Antwort auf die Frage kennen Sie, es ist x. Damit lautet die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion der Logarithmusfunktion  y = a^x. Sie haben eine Exponentialfunktion.
5. Demnach hat ein dekadischer Logarithmus die Umkehrfunktion f^-1(x) = lg (x) => x = log₁₀(y) => y = 10^x. Für den natürlichen Logarithmus folgt daraus f^-1(x) = ln (x) = e^x.

Zur Verdeutlichung zwei Zahlenbeispiele: log₂8 ist die Frage, mit was müssen Sie potenzieren, um 8 zu erhalten? Die Antwort heißt 3. log₂8 = 3 oder 2³ = 8. lg 100 ist die Frage mit was Sie 10 potenzieren müssen, um 100 zu erhalten. Es ist 2. lg 100 = 2 oder 10² = 100.

Umkehrfunktion von Logarithmen in drei Schritten bilden

Sie sollen die Umkehrfunktion von y = log_a (x) bilden. (Beispiel: y = log₂(x)).

1. Stellen Sie die Basis fest. lg hat die Basis 10, ln die Basis e. Bei allen anderen Logarithmen log_a ist die Basis angegeben. (Im Beispiel ist es die 2)
2. Schreiben Sie f^-1(x) = Basis. Für das Beispiel gilt: f^-1(x) = 2  (Achtung, das ist nicht die Lösung, nur ein Zwischenschritt).
3. Stellen Sie das Argument fest. Dieses ist x. Schreiben Sie das Argument als Exponent für Basis. Aus f^-1(x) = Basis wird f^-1(x) = Basis^x. Für das Beispiel gilt: f^-1(x) = 2   wird zu f^-1(x) = 2^x.   

Nach diesem Schema können Sie jede Logarithmusfunktion umkehren. Wie Sie sehen, ist es sehr einfach.