e^ln(x) = x - die mathematische Beziehung einfach erklärt

Der natürliche Logarithmus ln (x)

In der Oberstufenmathematik wird oft mit Exponentialfunktion f(x) = e^x, die die Eulersche Zahl e (etwa 2,71) als Basis hat, gearbeitet. Historisch lässt sich diese ungewöhnliche Zahl als das Ergebnis eines Zinseszinsproblems erklären.

• Zu dieser Exponentialfunktion gibt es eine Umkehrfunktion, nämlich den natürlichen Logarithmus f(x) = ln x (Sie können die Variable "x" hier in Klammern setzen, müssen es jedoch nicht).
• Als gut verständliche Merkregel gilt: Die Exponentialfunktion bildet Potenzen, die Logarithmusfunktion "fragt" nach dem Exponenten.

Aber warum ist e^ln(x) = x?

Der Ausdruck "e^ln(x) = x" sieht aus, als sollte damit Leuten mit wenig mathematischer Vorbildung das Fürchten gelehrt werden. Dem ist jedoch nicht so, denn der Ausdruck lässt sich gut verstehen:

• Zunächst einmal sollte man ihn so umschreiben e^ln(x) = e^{ln x} = x. Mit anderen Worten: Nimmt man die Umkehrfunktion von e^x, nämlich ln x in die Potenz der e-Funktion, kommt wieder die Variable "x" heraus. 
• Grund ist, dass sich Funktion und Umkehrfunktion gegenseitig aufheben. Es gilt ja auch (Wurzel(x))² = x, weil sich Wurzelfunktion und Quadratfunktion gegenseitig aufheben.
• Ein bisschen erstaunt die Gleichung allerdings schon. Neben dieser mehr verständlichen Begründung kann man die Richtigkeit der Gleichung auch beweisen, dass e^ln(x) = x gilt. Hierfür bilden Sie auf beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus und erhalten ln (e^{ln x}) = ln x. Auf der linken Seite wenden Sie die bekannten Logarithmengesetze an: ln x _* lne = lnx (da ln e = 1). 
• Interessant ist auch noch die umgekehrte Schlussfolgerung. Es gilt nämlich "ln (e^x) = x", was sich durch direkte Anwendung der Logarithmengesetze zeigen lässt.

Wo jedoch kommen solche mathematischen Ausdrücke vor bzw. werden sie gebraucht?

• Den einfacheren Ausdruck "ln (e^x) = x" benötigen Sie, wenn Sie sog. Exponentialgleichungen auflösen wollen (man kommt durch das Logarithmieren an die gesuchte Hochzahl).
• Der kompliziertere Ausdruck e^{ln x} = x wird benötigt, wenn man Gleichungen lösen soll, bei denen die gesuchte Größe x im Logarithmus steht (hier kommt man durch das Potenzieren, also durch die Anwendung der Exponentialfunktion an die Unbekannte x).