Momentane Änderungsrate - Formel

Die Änderungsrate einer Größe - Kurzinfo

• Die momentane Änderungsrate beschreibt, wie sich eine mathematische Funktion oder eine naturwissenschaftliche Größe, beispielsweise die Geschwindigkeit, für einen gedachten, sehr kurzen Augenblick ändert.
• Dies ist im Fall der Geschwindigkeit beispielsweise auf eine Beschleunigung oder einen Bremsvorgang zurückzuführen. Aber auch Funktionen können steil ansteigen oder recht schnell abfallen.
• Als erste Näherung für diese Änderungsrate gilt der sog. Differenzquotient, der das Verhalten der Funktion bzw. der wissenschaftlichen Größe in einem kleinen Intervall beschreibt.
• Nennen Sie die Größe dieses Intervalls beispielsweise "h", so kann dies für eine kleine Zeitdifferenz, aber auch für eine kleine Wegstrecke auf der x-Achse bei Funktionen stehen, also h = x₂ - x₁. Die wissenschaftliche Größe oder die Funktion ändert sich auf diesem Intervall beispielsweise um den Betrag y₂ - y₁ = f(x₂) - f(x₁).
• Die Änderungsrate über dieses Intervall ist dann gegeben durch den Differenzenquotienten [f(x₂) - f(x₁)]/(x₂ - x₁), eine Formel, die man für verschiedene Punkte bzw. Intervalle berechnen kann.

Momentane Änderungsrate - die Formel

Was jedoch passiert nicht innerhalb eines Intervalls, sondern sozusagen "momentan"? Ein Tachometer zeigt ja auch die momentane Geschwindigkeit eines Autos an.

• In diesem Fall muss man sich anschauen, welchem Grenzwert der Differenzenquotient zustrebt, wenn man das Intervall immer kleiner wählt. Wer sich in der Differentialrechnung auskennt, weiß, dass der Differenzquotient in diesem Fall dem Differentialquotienten der Funktion bzw. der Größe zustrebt. Mit anderen Worten: Die momentane Änderungsrate einer Größe oder Funktion ist nichts anderes als die 1. Ableitung, deren Formel man in vielen Fällen leicht berechnen kann.
• Um die Vorgehensweise zu erläutern, sei für eine Bewegung die Veränderung der Geschwindigkeit mit der Zeit bekannt, beispielsweise nach der Formel v = 3/2 t³, das heißt, die Geschwindigkeit wächst mit der dritten Potenz der Zeit an.
• Wenn Sie nun die momentane Änderungsrate dieser Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt (vielleicht bei t_o = 5 s) berechnen wollen, so müssen Sie zunächst die 1. Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit berechnen und erhalten v'(t) = 9/2 t².
• In diese Ableitung setzen Sie nun den Wert t_o = 5 s ein und erhalten v'(5) = 9/2 (5)² = 112,5 m/s². In der 5-ten Sekunde erfährt Ihr Probefahrzeug also eine Beschleunigung von 112,5 m² (vielleicht ist es eine Rakete beim Start), denn die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit ist in der Physik mit der Beschleunigung identisch.