Extrema berechnen - so wird's bei Polynomen gemacht

Das ist bei einem Extrema zu beachten

Halten Sie sich vor Augen, was ein Polynom ist und wie der Graph der Funktionen aussieht, das erleichtert das Berechnen der Extrema.

• Ein Polynom ist ein Ausdruck der Form f(x) = a_nxⁿ+ a_n-1x^n-1+...+a₁x+a₀.  a_n, a_n-1 etc. und steht für konkrete Zahlenwerte. Beispiel: f(x) = x⁴-2x²-1.
• Halten Sie sich den üblichen Verlauf eines solchen Funktionsgraphen vor Augen (siehe Bild). Bei einem Funktionsgraphen eines Polynoms müssen Sie immer mit kleinen Hügeln rechnen. Der Funktionsgraph fällt bis zum Tiefpunkt und steigt dann wieder bis zum Hochpunkt, danach fällt er wieder.
• Beachten Sie dabei, dass die höchste Potenz eines Polynoms Ihnen zeigt, mit wie vielen Extrema Sie maximal rechnen müssen. Ist die höchste Potenz n, gibt es also höchsten n-1 Extrema. Im Beispiel müssen Sie mit 3 Extrema rechnen.
• Zum Berechnen der Extrema denken Sie daran, dass die erste Ableitung einer Funktion die Steigung angibt. Die Steigung ändert sich im Extrempunkt, folglich muss diese also in diesem Punkt Null sein.
• Aber beachten Sie, dass eine Nullstelle nicht immer auf eine Änderung des Vorzeichens hinweist, es kann sein, dass eine Funktionsgleichung den Wert Null annimmt, aber nie negativ wird. Denken Sie nur an die Funktionsgleichung f(x) = x².
• Sie müssen also sicher sein, dass die 1. Ableitung der Funktion in den Nullstellen der Ableitung tatsächlich zu einer Änderung des Vorzeichens führt. Also darf die Nullstelle der Ableitung selbst kein Extrema sein. Die Ableitung der 1. Ableitung (2. Ableitung der Funktion) darf also in der Nullstelle der 1. Ableitung nicht Null sein.

Das müssen Sie beachten, wenn Sie Extrema berechnen sollen.

Richtiges Berechnen der Ableitungen

• Polynome werden immer nach der Formel abgeleitet, dass der Exponent des jeweiligen Summanden als Faktor davor gestellt wird, und der Exponent um eins reduziert wird. Also ist die  Ableitung von  f(x) = a_nxⁿ+ a_n-1x^n-1+...+a₁x+a₀ gleich  f'(x) = n a_nx^n-1+(n-1) a_n-1x^n-2+...+a₁x⁰+ 0 a₀. Merken: Von der Hochzahl 1 abziehen, alte Hochzahl mit der Zahl vor dem x multiplizieren.
• Beachten Sie unbedingt dabei, dass x⁰=1 ist. Denn daraus folgt, dass die Ableitung von a₀ Null ist, denn a₀ ist a₀x⁰ und demnach wird der Term mit 0 multipliziert und entfällt.
• Außerdem folgt aus x⁰=1, das a₁x⁰= a₁. Demnach schreiben Sie korrekterweise für f'(x) = n a_nx^n-1+(n-1) a_n-1x^n-2+...+a₁x⁰+ 0 a₀ nur f'(x) = n a_nx^n-1+(n-1) a_n-1x^n-2+...+a₁.

Beispiel für das Berechnen von Extrema

Wenn Ihnen das Polynom f(x) = x⁴-2x²-1 gegeben ist und Sie sollen Extrema berechnen, gehen Sie so vor:

1. Bilden Sie die erste und die zweite Ableitung. Sie erhalten also  f'(x) = 4x³-4x und f''(x) = 12x²-4.
2. Setzen Sie den Funktionsterm von f'(x) = 0: Also 4x³-4x = 0. Berechnen Sie die Nullstellen. Sie bekommen x₁= 0, x₂= 1 und x₃ = -1 heraus.
3. Setzen Sie die Werte in die Funktionsgleichung f''(x) = 12 x² - 4 ein. Sie bekommen f''(0) = - 4. Der Wert ist ungleich 0 und negativ. Das Extrema an der Stelle ist also ein Hochpunkt. Für f''(-1) und f''(1) bekommen Sie 8 heraus, das sind folglich Tiefpunkte.
4. Wenn Sie den Graph zeichnen sollen, müssen Sie nun die Werte x₁= 0, x₂= 1 und x₃ = -1 in die Funktionsgleichung einsetzen. Sie bekommen f(0) = 0⁴-20²-1= -1. Der Hochpunkt H liegt also bei H(0/-1). f(-1) = (-1)⁴ - 2 (-1)² - 1 = 1-2-1=-2. Das Gleiche bekommen Sie auch für x₂= 1 heraus. Die Tiefpunkte liegen also bei T₁(-1/-2) und T₂(1/-2).

Nach diesem Schema müssen Sie Extrema berechnen.