Wurzelberechnung - so gelingen die Übungen

Grundsätzliches zur Wurzelberechnung

Das Thema Wurzelberechnungen steht im Zusammenhang mit Umkehrfunktionen von Gleichungen, halten Sie sich vor Augen:

• Die Gleichung y = f(x) bedeutet, dass es einen Zusammenhang gibt zwischen der Variablen x und y. Es steht die Frage dahinter: wie ändert sich y, wenn x sich verändert? Beispiel: y = 5 x.
• Die Umkehrung einer Gleichung x = f(y) steht hinter der Frage wie sich x verändert, wenn y eine Änderung erfährt. x und y werden vertauscht. Beispiel: x = 5 y.
• Um nun wieder x als unabhängige Variable zu erhalten, wird die Gleichung nach y aufgelöst. In dem Fall ist das kein Problem, Sie müssen die Gleichung durch 5 dividieren und erhalten y = 1/5 x. Erinnern Sie sich daran: 1/5 ist der Kehrwert von 5.
• Ihnen ist auch bekannt, dass es quadratische Funktionen gibt. Beispiel y = x². Wenn Sie nun die umgekehrte Abhängigkeit darstellen sollen, erhalten Sie x = y².
• Auch diese Gleichung ist wieder nach y aufzulösen. In dem Fall kommt das Wurzelzeichen ins Spiel. y = √x.

Wenn Sie eine Wertetabelle für diese Funktion aufstellen sollen, müssen Sie die Wurzelberechnung beherrschen.

Wurzeln geometrisch bestimmen

Aus dem dargestellten Zusammenhang sehen Sie, dass es einen Zusammenhang zwischen x² und √x gibt.

1. Der Funktionsgraph von y = x² ist eine Normalparabel. Zeichnen Sie diese in ein Koordinatensystem auf Millimeterpapier.
2. Geht es bei der Wurzelberechnung darum, √5 auszurechnen, dann markieren Sie im Koordinatensystem den Punkt (0/5), also die 5 auf der y-Achse.
3. Ziehen Sie eine Senkrechte zur y-Achse durch den Punkt und Sie erhalten zwei Schnittpunkte mit dem Funktionsgraphen.
4. Fällen Sie von den Punkten eine senkrecht zur x-Achse und Sie können das Ergebnis ablesen: √5 = 2,23 bzw. √5 = - 2,23. Sie sehen, √x hat immer zwei mögliche Ergebnisse.

Andere Verfahren sind rein rechnerisch. In dem Fall gehen Sie von den Quadratzahlen aus oder dem Satz des Heron.

Wurzelberechnungen über Quadratzahlen

In dem Fall gehen Sie von dieser Überlegung aus: √x liegt zwischen zwei Zahlen, also  a < √x < b (a < √5 < b).

1. Quadrieren Sie diese Ungleichung, Sie bekommen a² < x < b² (a² < 5< b²).
2. Setzen Sie für a und b natürliche Zahlen ein, die diese Bedingung gerade noch erfüllen und Quadratzahlen sind. 4 < 5 < 9. Ziehen Sie die Wurzel und Sie erhalten 2 < √5 < 3.
3. Jetzt suchen Sie die erste Nachkommastelle. Auch diese Zahlen müssen die Ungleichung erfüllen. Sie bekommen 2,2 < √5 < 2,3, denn 2,2² < 5 < 2,3².
4. Wenn die Wurzelberechnung auf 3 Stellen hinter dem Komma genau sein soll, müssen Sie das für die nächste und die übernächste Stelle wiederholen. Sie bekommen also 2,23 < √5 < 2,24 und 2,236 < √5 < 2,237.

Denken Sie auch daran, dass -2,236 > √5 > -2,237 ebenfalls gilt.

Wurzelberechnung nach dem Satz des Heron

In diesem Fall geht man davon aus, dass zum Beispiel 5 = x² kaum zu berechnen ist, aber in Schritten geschätzt werden kann.

1. Suchen Sie einen geeigneten Startwert nach der Formel x₀ = (y+1)/2, in dem Fall also x₀ = (5+1)/2 = 3.
2. In den nächsten Schritten gehen Sie nach der Formel x₁ = (x₀+y/x₀)/2 vor. Also müssen Sie bei dieser Wurzelberechnung nun x₁ = (3+5/3)/2 = 7/3 rechnen.
3. Setzen Sie das wieder in die Formel ein x₂ = (x₁+y/x₁)/2, Sie bekommen x₂ = [(7/3)+ 5/(7/3)]/2 = [7/3 + (5 * 3)/7]/2 = 47/21.

Fahren Sie nach dieser Methode fort.

Tricks bei Wurzelberechnungen

• Denken Sie bei größeren Zahlen, aus denen Sie die Wurzel ziehen sollen, daran, dass man oft teilweise radizieren kann. So können Sie statt √75 die Wurzelberechnung für 5√3 durchführen, also lediglich die Verfahren für √3 anwenden.
• Auch die Tatsache, dass √a * √b = √(a * b) ist, kann Ihnen bei der Wurzelberechnung helfen. So besteht die Möglichkeit statt √5 * √20 zu berechnen, einfach √(5 * 20) = √100 zu berechnen.