Lokale Änderungsrate berechnen - so funktioniert's

Lokale Änderungsrate aus Funktionsgleichung berechnen

Der einfachste Fall, die lokale Änderungsrate einer Größe zu berechnen, liegt vor, wenn Sie die Funktionsgleichung der entsprechenden Größe haben. So könnte die Größe, zu der Sie die Änderungsrate berechnen sollen, beispielsweise der Füllstand in einem Wasserbehälter sein, der sich im Laufe der Zeit leert. Wenn Sie den funktionalen Zusammenhang zwischen dem Füllstand und der Zeit haben, kann die lokale Änderungsrate leicht berechnet werden, und zwar zu jedem beliebigen Zeitpunkt.

1. Die (lokale) Änderungsrate einer Funktion f(x) lässt sich mithilfe der ersten Ableitung dieser Funktion berechnen. Sie benötigen also f'(x). Erinnerung aus der Schulmathematik: Die Ableitung ist ein Maß für die Steigung einer Funktion, also ein Maß dafür, wie stark sich die Funktion ändert.
2. Ein Beispiel, hier wieder der Wasserbehälter: Angenommen, die Füllhöhe H (in Meter) hat eine zeitliche Abhängigkeit, die durch eine quadratische Funktion von der Zeit t (in Stunden) wiedergegeben wird, also: H(t) = -3 t² + 27.
3. Zu Beginn des Experiments (t = 0) war die Füllhöhe 27 m, jetzt läuft das Wasser aus. Die Änderungsrate der Füllhöhe ergibt sich aus der Ableitung, also H'(t) = -6 t.
4. Hieraus können lokale Änderungsraten zu beliebigen Zeitpunkten berechnet werden. Bei t = 0 (also am Beginn) ist die Änderungsrate 0, es ist ja auch noch kein Wasser ausgelaufen. Bei t = 1 haben Sie eine lokale Änderungsrate von H'(1) = - 6, das heißt, der Füllstand verringert sich pro Stunde um 6 m. Bei t = 2 verringert sich der Wasserstand schon um H'(2) = -12, also um 12 m. Das Wasser fließt also schneller aus.

Die Rate aus experimentellen Daten berechnen

Im zweiten Fall kennen Sie den funktionellen Zusammenhang zwischen der Größe, deren Änderungsrate Sie berechnen sollen, nicht. Mit anderen Worten: Die Funktionsgleichung fehlt. Aber Sie haben aus einer Messung Daten über den Vorgang erhalten. Nehmen Sie wieder das Beispiel mit dem Wasserbehälter von oben, bei dem Sie die Füllhöhen zu verschiedenen Zeitpunkt gemessen haben.

1. Im Allgemeinen wird man die Messergebnisse in einem Graphen darstellen, die y-Achse ist die Füllhöhe H, die x-Achse die Zeit t.
2. Wie sich die Größe "Füllhöhe" nun im Laufe Ihres Experiments verändert, können Sie aus diesem Graphen leicht berechnen.
3. Für die lokale Änderungsrate müssen Sie nämlich die Geradensteigung zwischen zwei benachbarten Messpunkten berechnen. Dazu bilden Sie die Höhendifferenz H2 - H1 und teilen diesen Wert durch die Zeitdifferenz t2-t1 zwischen den beiden Messpunkten. Dieser Wert ist zunächst eine Näherung für die lokale Änderungsrate Ihrer Messgröße. Wenn Sie viele, dicht aufeinanderfolgende Messpunkte haben, ist die Näherung sogar ziemlich gut.

Bedeutung für eine Funktion

Oft wird in Textaufgaben nicht explizit erwähnt, dass die Steigung bzw. die lokale Änderungsrate gesucht wird. In der Regel wird aber nach dieser Änderungsrate gesucht, wenn für einen Wert die Einheit der y-Koordinate durch die Einheit der x-Koordinate dividiert wird.

Meist ist dieser Wert die Geschwindigkeit oder die Beschleunigung zu einem bestimmten Zeitpunkt.

Beispiel 1: Auf der x-Achse wird die Zeit in Jahren angegeben. Die y-Achse trägt die Einheit Meter. Die lokale Änderungsrate ist hier die Wachstumsgeschwindigkeit mit der Einheit Meter pro Jahr (m/a).

Beispiel 2: Die y-Achse gibt die Geschwindigkeit eines Autos in km/h an. Die x-Achse gibt hier die Zeit in Stunden wieder. Wenn Sie nun die Steigung in einem bestimmten Punkt mithilfe der Ableitung berechnen, so erhalten Sie die Beschleunigung des Fahrzeugs zu diesem Zeitpunkt.