Transformation von Graphen

Die Transformation des Streckens

• Beim Strecken oder Stauchen eines Graphs wird der y-Wert der Funktion durch einen Faktor b beeinflusst. Ist der Wert von b größer als 1, wird der Graph gestreckt. Im anderen Fall wird er gestaucht. Negative Werte kann der Faktor b aber nicht annehmen.
• Das Berechnen des gestreckten oder gestauchten Graphen ist wirklich einfach. Sie müssen nur den Faktor b mit dem Funktionsterm multiplizieren. Setzen Sie den Term dazu vorerst in Klammern und beenden Sie die Transformation, indem Sie die Klammern mit dem Faktor b multiplizieren.

Das Spiegeln eines Graphen

1. Die Vorgehensweise hängt davon ab, ob Sie den Graphen an der x-Achse oder an der y-Achse spiegeln wollen. Für eine Spiegelung an der x-Achse multiplizieren Sie den Funktionsterm mit -1. Dazu setzen Sie den Term wieder in Klammern und multiplizieren dann den Faktor -1 hinein.
2. Ein Beispiel wäre die Funktion f(x)=2^x. Wenn diese Funktion an der x-Achse gespiegelt werden soll, berechnen Sie: -1*(2^x) = -2^x. Also besitzt der gespiegelte Graph die Gleichung g(x)=-2^x.
3. Soll der Graph aber an der y-Achse gespiegelt werden, drehen Sie einfach alle Vorzeichen der Elemente mit einem ungeraden Exponenten bei x um. So wird aus der Funktion f(x)=2x^3+x^2 an der y-Achse gespiegelt g(x)=-2x^3+x^2.
4. Wenn sich der neue Funktionsterm nicht vom alten unterscheiden sollte, liegt das daran, dass der jeweilige Graph achsensymmetrisch zur y- bzw. x-Achse ist.

Verschieben von Funktionsgraphen

Zum Verschieben eines Graphen werden zwei verschiedene Parameter benötigt. Diese werden Ihnen häufig in Form eines Verschiebungsvektors angegeben.

1. Die neue x-Koordinate entsteht, indem Sie die x-Koordinate des Vektors zur x-Koordinate des Funktionsterms addieren. Genau so funktioniert es bei der y-Koordinate. Wenn der Funktionsterm also f(x)=3x^2 lautet und der zugehörige Verschiebungsvektor (1/4) ist, formen Sie daraus zwei Gleichungen.
2. Die erste Gleichung lautet x1 = x2+1, die zweite y1 = y2+4. Diese beiden Gleichungen stellen die obere Formulierung in einer mathematischen Form dar; x1 und y1 stehen hier für die Koordinaten eines Punktes auf dem verschobenen Graphen. Dagegen sind x2 und y2 beliebige Punkte auf dem originalen Graphen.
3. Deshalb lösen Sie die beiden Gleichungen nach x2 und y2 auf: x2 = x1-1, y2=y1-4. Diese Gleichungen müssen Sie in die gegebene Funktionsgleichung einsetzen. y=3x^2 <=> y1-4=3*(x1-1)^2. Im letzten Schritt lösen Sie diese Gleichung einfach nach y1 auf. Die Gleichung nach der Transformation lautet also y=3*(x1-1)^2+4.