Unendlichkeitsverhalten der e-Funktion - einfach erklärt

Die e-Funktion erklärt sich wie folgt

• Exponentielles Wachstum (wie die Reiskornaufgabe auf dem Schachbrett oder die Anzahl von Bakterien in einer Kultur) bzw. exponentieller Zerfall (Radioaktivität, Bierschaum) lassen sich in der Mathematik mit sog. Exponentialfunktionen beschreiben.
• Diese Funktionen bestehen aus (zunächst beliebigen) positiven Zahl als Basis sowie der Variablen "x" im Exponenten dieser Zahl.
• Aus historischen Gründen hat es sich eingebürgert, die Eulersche Zahl e, die etwa 2,71 beträgt, als Basis für derartige Exponentialfunktionen zu benutzen. Daher auch die abkürzende Namensgebung e-Funktion.
• Die einfachsten e-Funktionen haben die Funktionsgleichungen y = e^x (für Wachstum) bzw. y = e^-x für Zerfall. 

Unendlichkeitsverhalten - so finden Sie es heraus

• Unendlichkeitsverhalten einer Funktion, dies bedeutet immer: Finden Sie heraus, wie sich die gegebene Funktion im positiv Unendlichen bzw. negativ Unendlichen verhält.
• Mit anderen Worten: Welche Werte nimmt die Funktion an, wenn man die Variable x über alle Grenzen wachsen lässt, und zwar im positiven und im negativen Bereich.
• Für die e-Funktion ist das Unendlichkeitsverhalten (evtl. unter Ausnutzung eines Taschenrechners) relativ einfach zu klären:
• Die Wachstumsfunktion y = e^x wächst, wenn man sehr große Zahlen einsetzt, über alle Grenzen. Schon der Begriff "Wachstumsfunktion" signalisiert dieses Unendlichkeitsverhalten. Nimmt die Variable "x" sehr große negative Werte an, nähert sich die Funktion dem Wert y = 0 und schmiegt sich somit der x-Achse als Asymptote an.
• Die Zerfallsfunktion y = e^-x zeigt prinzipiell das umgekehrte Verhalten: Für sehr große positive x-Werte werden die y-Werte sehr klein. Die Funktion nähert sich daher der x-Achse, also dem Wert y = 0 an, daher die Bezeichnung "Zerfall". Im negativen x-Bereich wächst diese Funktion allerdings über alle Grenzen.