Definitionslücke und Polstelle - Unterschied verständlich erklärt

Das ist eine Definitionslücke

• Eine Definitionslücke liegt immer dann vor, wenn es im Definitionsbereich einen oder mehrere x-Werte gibt, die Sie nicht einsetzen können, weil der Term dann zu einem nicht definierten Ausdruck wird.
• In der Regel geht es bei Definitionslücken darum, dass ein Nenner nicht 0 sein darf, eine Wurzel nicht negativ oder ein Logarithmus nicht negativ bzw. 0 sein darf.
• Definitionslücken finden Sie also bei gebrochen rationalen Funktionen, Wurzelfunktionen oder Logarithmusfunktionen.
• Die Definitionslücke wird immer näher untersucht, das heißt, es soll eine Aussage getroffen werden, wie sich der Graph verhält, wenn der x-Wert sich der Definitionslücke nähert. Dabei gibt es verschiedene Möglichkeiten - eine davon ist, dass es sich um eine Polstelle handelt.

Das sind Polstellen

• Eine Polstelle kann nur an einer Definitionslücke existieren. Betrachten Sie, wie sich der Funktionswert verhält, wenn x gegen die Definitionslücke strebt (lim). Wenn der Funktionswert gegen + oder - unendlich strebt, liegt eine Polstelle vor.
• Sie müssen an der Definitionslücke immer zwei Betrachtungen machen, einmal für x strebt von unten gegen die Definitionslücke und einmal für x strebt von oben gegen die Definitionslücke (Beispiel: Definitionslücke x = 1 - Sie müssen den Limes für x-n; n strebt gegen 0 untersuchen und Limes für x+n; n strebt gegen 0.)
• Bei einer Polstelle strebt f(x) dann immer gegen unendlich. Dabei kann es geschehen, dass f(x) für x strebt von unten gegen die Definitionslücke, - unendlich herauskommt und für  "von oben" + unendlich. Das ist dann eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel. Eine solche liegt auch vor, wenn es genau umgekehrt ist. Wenn in beiden Fällen gegen + oder - unendlich gestrebt wird, ist es eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.
• Soll f(x) im Bereich der Definitionslücke nicht gegen unendlich streben, dann haben Sie nur eine Definitionslücke, keine Polstelle.

Generelles zu Grenzwerten

Funktionsgleichungen sind oft ein Produkt oder ein Quotient. Dabei ist es einfacher, die Faktoren bzw. Zähler und Nenner getrennt zu untersuchen. Merken Sie sich folgende Zusammenhänge:

• Ist der Grenzwert des Zählers eine beliebige Zahl und der des Nenners unendlich, dann ist der Grenzwert des Bruchs 0, denn eine Zahl, die durch eine sehr große Zahl geteilt wird, ergibt etwas sehr Kleines.
• Ist der des Zählers unendlich und der des Nenners eine beliebige Zahl, dann ist der Grenzwert unendlich.
• Wenn Sie im Zähler eine Zahl, die nicht 0 ist, haben und der Grenzwert des Nenners 0 ist, ist der Grenzwert des Bruchs unendlich. Logischerweise ist das Produkt zweier Ausdrücke, die gegen unendlich streben, auch unendlich.
• Unklare Grenzwerte bekommen Sie immer dann, wenn die Grenzwerte der Faktoren “0/0“, “unendlich/unendlich“ oder “0 * unendlich“ ergeben. In dem Fall kann es sogar sein, dass die Definitionslücke nicht nur keine Polstelle ist, sondern sogar behebbar.

Beispiel zu Definitionslücken und Polstellen

• f(x) = 1/(x²-1) Definitionslücken sind bei x = -1 und x = 1. Wenn x von unten gegen -1 strebt, also etwas kleiner als -1 ist (z. B. -1,01), dann ist der Nenner positiv und der Zähler positiv. Der Grenzwert ist also + unendlich. Strebt x von oben gegen -1, ist also etwas größer (z. B. -0,99), dann ist der Nenner negativ, der Grenzwert ist -unendlich. Sie haben an dieser Stelle also eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.
• f(x) = (x+1)/(x²-1) Definitionslücken sind bei x = - und x=1, wenn Sie nun den Grenzwert an der Stelle x = - 1 bilden, kommen Sie zu dem Ausdruck 0/0. Beachten Sie: f(x) = (x+1)/(x²-1)=(x+1)/[(x-1)(x+1)] = 1/x-1. Wenn Sie in diese gekürzte Form der Funktionsgleichung x=-1 einsetzen, bekommen Sie 1/(-2) = - 0,5. Diese Definitionslücke ist also behebbar und daher keine Polstelle.

Bei komplexeren Funktionsgleichungen, z. B. bei der thomaeschen Funktion, kann es auch vorkommen, dass eine Definitionslücke nicht behebbar ist und trotzdem keine Polstelle vorliegt.