Limes in Mathe - das wird darunter verstanden

Limes - der Begriff in der Mathematik erklärt

• Der Begriff "Limes" stammt aus dem Lateinischen und heißt übersetzt einfach "Grenze" (und erinnert natürlich an die bekannten Grenzbefestigungen der Römer).
• Allerdings handelt es sich in der Mathematik bei einem Limes meist um einen Zahlenwert, sodass die Übersetzung "Grenzwert" besser geeignet ist.
• Der einfachste Fall, sich solch einen Limes oder Grenzwert zu veranschaulichen, ist eine (unendliche) Folge von Zahlen. Diese Zahlenfolge kann über alle Grenzen wachsen, sie kann jedoch auch einer bestimmten Zahl zustreben. Und zwar wird der Abstand zu dieser Zahl mit fortschreitender Folge immer kleiner.
• Stellt sich daher in der Mathematik die Frage nach dem Limes, so ist immer etwas gesucht, dem sich etwas anderes beliebig nähert.

Limes - die graue Theorie mit Beispielen aufgehellt

• Der einfachste Fall sind tatsächlich Zahlenfolgen. Die Folge der natürlichen Zahlen (1,2,3 …) beispielsweise hat keinen Grenzwert, denn sie wächst über alle Grenzen. Bei der Folge 1, 1/2, 1/3, 1/4 (allgemein 1/n) erkennt man jedoch recht schnell, dass die Folgenglieder immer dichter an die Null herankommen, diese jedoch nicht erreichen. In diesem Fall ist die Null der Grenzwert bzw. Limes der Folge. Man schreibt dies mathematisch: lim_n→_∞ 1/n = 0 (sprich: Limes für n gegen unendlich von 1/n ist Null; beachten Sie, dass der Ausdruck _n→∞ normalerweise unter dem "lim" steht, was hier jedoch nicht dargestellt werden kann). Allerdings sei an dieser Stelle erwähnt, dass es nicht für alle Folgen so einfach ist, den Grenzwert zu bestimmen.
• Darüber hinaus gibt es natürlich weitere Grenzwerte. So ist beispielsweise die Ableitung f'(x) einer Funktion der Grenzwert eines (komplizierten) Differenzenquotienten. Ausgangspunkt war hier die Fragestellung, welchen Grenzwert die Steigung der Funktion annimmt, wenn man die Steigungsdreiecke immer kleiner wählt.
• Auch Funktionen können Grenzwerte haben und sich im Unendlichen gewissen Werten annähern. Einfachstes Beispiel ist hier die Funktion f(x) = 1/x. Strebt x gegen plus oder minus unendlich, so strebt in beiden Fällen der Funktionswert gegen Null - die x-Achse ist in diesem Fall Asymptote. Die Funktion f(x) = exp(x) jedoch wächst für große positive x-Werte über alle Grenzen, während die Funktion für negative x-Werte dem Wert Null entgegenstrebt. Mathematisch lässt sich dieser Sachverhalt so ausdrücken: lim_{x→ -∞} e^x = 0.