Nullstellen berechnen durch Ausklammern - so wird's gemacht

Nullstellen berechnen - was müssen Sie da tun?

• Wenn es um den Begriff "Nullstellen" geht, handelt es sich immer um eine Berechnung, die mit Funktionen zu tun hat.
• Die Nullstellen einer Funktion f(x) sind genau die Stellen auf der x-Achse, an denen die Funktion diese schneidet. Dort ist der Funktionswert, also der y-Wert null.
• Bedingung für eine Nullstelle ist also immer f(x) = 0.
• Abhängig von der Funktionsgleichung f(x) ergeben sich aus dieser Bedingung unterschiedliche Rechenschritte, mit denen Sie die x-Werte berechnen müssen.
• Im einfachsten Fall müssen Sie (mit bekannten Formeln und Regeln) eine Gleichung nach x auflösen. Bei quadratischen Funktionen (Parabeln) können Sie beispielsweise die pq-Formel anwenden.

Nullstellen bei Polynomen - so funktioniert Ausklammern

Probleme beim Berechnen von Nullstellen treten häufig dann auf, wenn man als Funktion ein Polynom hat, also eine ganzrationale Funktion, deren Grad größer als 2 ist. Solch eine Funktion ist beispielsweise f(x) = x³ + 2x² - 1, die dritten Grades ist und mit den üblichen Methoden nicht zu knacken ist.

• Eine mögliche Methode, um auch hier Nullstellen zu berechnen, ist das Ausklammern, wodurch sich der Grad des Polynoms verkleinert.
• Allerdings müssen diese Polynome eine sehr spezielle Bedingung erfüllen: Der Term darf keine Konstante enthalten - oder anders formuliert: Alle Bestandteile des Funktionsterms müssen mindestens ein "x" enthalten.
• So lässt sich das o.g. Beispiel f(x) = x³ + 2x² - 1 nicht durch Ausklammern lösen, wohl aber die Funktion f(x) = x³ + 2x².
• In diesem Fall gehen Sie so vor, dass Sie aus dem Funktionsterm eine möglichst hohe Potenz von x ausklammern. Dadurch erniedrigt sich die Potenz von x in der Klammer, was häufig leichter zu berechnen ist.
• Wenn Sie bei der Funktion f(x) = x³ + 2x² die Nullstellen berechnen sollen, so gilt zunächst x³ + 2x² = 0, die Bedingung.
• Nun klammern Sie x² (die höchste mögliche Potenz) aus und erhalten: x² (x + 2) = 0.
• Hierbei handelt es sich um ein Produkt. Dieses Produkt kann nur null werden, wenn entweder der erste Faktor (x²) null wird oder der zweite Faktor (x + 2) null wird.
• Im ersten Fall erhalten Sie als Nullstelle x₁ = 0 (x² = 0 folgt auch x = 0).
• Im zweiten Fall erhalten Sie als Nullstelle x₂ = -2 (berechnet aus x + 2 = 0). 

Fazit: In manchen Fällen lassen sich die Nullstellen einer ganzrationalen Funktion berechnen, indem man eine Potenz von x ausklammert und dann die beiden Funktionsteile, die einen niedrigeren Grad haben, gesondert behandelt.