Die Näherungsformel für arctan
Der Arkustangens ist die Umkehrfunktion zur normalen Tangensfunktion. Bei arctan (x) berechnen Sie also zu einem Tangenswert x den dazugehörigen Bogen y, aus dem man den Winkel berechnen kann.
Für praktisch alle Winkelfunktionen und deren Umkehrfunktionen gibt es Näherungsformeln, mit denen man diese berechnen kann. Die Formeln beruhen darauf, dass sich diese Funktionen mithilfe einer Potenzreihe, die das Argument x der Funktion in steigenden Potenzen enthalten, darstellen lassen.
So gilt für den Arkustangens, die Umkehrfunktion des Tangens, die folgende Entwicklung: arctan (x) = x - x3/3 + x5/5 .... Allerdings darf das Argument x vom Betrag her nicht größer als 1 sein. Die Näherung ist umso genauer, je mehr Potenzen man beim Berechnen berücksichtigt. In den meisten Fällen, in den man handschriftlich, also ohne Taschenrechner arbeitet, sind die beiden ersten Werte durchaus ausreichend.
Übrigens: Für sehr kleine Werte von x gilt: actan (x)≈ x, in vielen Fällen eine ebenfalls ausreichende Näherung. Die Potenzreihe kann man auch verwenden, wenn man Gleichungen mit Winkelfunktionen lösen soll, in denen "x" auch in einfacher Form vorkommt.
Ohne Taschenrechner berechnen - ein Beispiel
In diesem Beispiel soll x = 0,5 gewählt werden. Gesucht ist der zugehörige Bogen bzw. der Winkel.
Sie wenden die oben genannte Näherungsformel an, beispielsweise die ersten beiden Glieder der Potenzreihenentwicklung. Es gilt: arctan(0,5) = 0,5 - (0,5)3/3 = 0,5 - 0,042 = 0,458.
Zu diesem Bogen x berechnen Sie den Winkel α = x * 180°/ π = 0,458 * 180° / π = 26,24°.
So gelangt man zum Ergebnis von π = 26,24°.
Ihre Näherung können Sie jetzt mit dem Taschenrechner noch einmal überprüfen. Es gilt tan (26,24°) = 0,492 sowie arctan (0,5) = 26,57°. Bedenken Sie dabei, dass bei der Berechnung des Winkels zweimal abgerundet wurde - das Ergebnis ist also bei der Berücksichtigung von nur zwei Potenzen durchaus annehmbar. Arbeitet man ohne Taschenrechner, kann es nämlich mühevoll sein, weitere Potenzen durch schriftliches Potenzieren mitzuführen.
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