Winkelfunktion - Erklärung und Grafikbeispiele

Winkelfunktionen - mehr als ein Seitenverhältnis

• Meist werden die Winkelfunktionen sin, cos und tan am rechtwinkligen Dreieck eingeführt. Dabei handelt sich um spezielle Seitenverhältnisse, die für alle rechtwinkligen Dreiecke mit dem entsprechenden Winkel Alpha gleich sind. Hieraus ergeben sich zahlreiche Grundaufgaben, die auf Berechnungen von Seiten und Winkeln in diesen Dreiecken hinauslaufen.
• Allerdings gibt es für die Winkelfunktionen erweiterte Anwendungsgebiete, nicht nur in der Mathematik, sondern auch darüber hinaus in den Naturwissenschaften.
• Sinus, Cosinus und Tangens können nämlich auch als Funktion des Winkels "Alpha" betrachtet und entsprechend in Wertetabellen oder auch grafisch in einem Achsenkreuz darstellt werden. 
• Hierzu wählen Sie den Winkel "Alpha" für die 1. Achse (eigentlich die x-Achse) und die Werte für Sinus, Cosinus bzw. Tangens auf der 2. Achse (y-Achse). Beachten Sie (Taschenrechner oder Tabellenbuch benutzen), dass es auch für Winkel, die größer als 90° sind, Werte dieser Winkelfunktionen gibt (diese ergeben sich aus der Definition am Einheitskreis, das muss Sie hier jedoch nicht weiter interessieren).
• Für Sinus und Cosinus erhalten Sie Funktionen, die man sofort als Schwingung interpretiert, denn die Funktionswerte schwanken periodisch zwischen den beiden Werten +1 und -1.
• Das Verhalten der Tangens-Funktion ist komplizierter, denn diese Funktion besteht aus mehreren Ästen. 

Die allgemeine Winkelfunktion - das sollten Sie wissen

• In der Mathematik und in den Naturwissenschaften ist es üblich, statt des Winkels "Alpha" ein Maß zu nutzen, das mit dem bei anderen Funktionen üblichen "x" kompatibel ist. Sprich: Es werden Zahlen gewählt, nicht Winkel.
• Hierfür bietet sich der Bogen "x" eines Kreises an, der zu dem entsprechenden Winkel gehört. Dabei handelt es sich um einen speziellen Kreis mit dem Radius r = 1 (Einheitskreis). So gehört beispielsweise zum 360°-Winkel der volle Kreisumfang von 2Pi = 6,28 und zum 180°-Winkel der Halbkreis Pi = 3,14. 
• Die Winkelfunktion des Sinus nimmt hiermit die (bekannte) Form f(x) = sin x an.
• Diese Form lässt sich zu einer allgemeinen Winkelfunktion erweitern. Ein Vorfaktor "a" lässt beliebige Werte zu, zwischen denen die Funktion schwankt (Amplitude genannt). Ein Faktor "b" vor dem Argument x verändert die Periode der Winkelfunktion, die nun nicht mehr 2Pi beträgt. Und die Addition einer Größe "c" verschiebt die Schwingung bzw. die Sinusfunktion auf der x-Achse.
• Allgemein lautet die Funktionsgleichung f(x) = a _* sin (bx + c).

Allgemeine Sinusfunktion - ein Beispiel

Als Beispiel soll die allgemeine Sinusfunktion f(x) = 3 _* sin (2 x - 1) näher betrachtet werden.

1. Entwerfen Sie zunächst eine Wertetabelle und zeichnen Sie den Grafen der Funktion. Günstig ist es, in der Wertetabelle die x-Werte zwischen - 10 (etwas weniger als 4Pi) und +10 in Schritten von 1/2Pi (etwa 1,5) zu wählen. Beachten Sie die richtige Einstellung bei Ihrem Taschenrechner, wenn Sie das Argument "x" in Bogenform eingeben!
2. Es handelt sich um eine Winkelfunktion; die grafische Darstellung ist eine Schwingung.
3. Die Schwingung findet zwischen den beiden Werten +3 und -3 statt.
4. Die Schwingung ist jedoch "schneller", das heißt, die Werte wiederholen sich nicht nach 2Pi, sondern schon nach Pi. Die Periode dieser Winkelfunktion hat sich also verdoppelt.
5. Außerdem ist die Winkelfunktion auf der x-Achse verschoben, das heißt, die erste Nullstelle liegt nicht - wie gewohnt - bei x = 0.