Wurzelrechnen ohne Taschenrechner - so geht's

Wurzelrechnen - nachschlagen oder abschätzen

Haben Sie noch eines jener guten alten Tabellenbücher, die vor den Zeiten des Taschenrechners von Schülern und Studenten genutzt wurden? Damit können Sie die Wurzel einer beliebigen Zahl bestimmen - einfach nachschlagen. Auch der bereits antiquierte Rechenschieber kann beim Wurzelrechnen wieder zum Einsatz kommen.

1. Wenn Sie völlig ohne Hilfsmittel arbeiten müssen, können Sie beim Wurzelrechnen auch gut das Ergebnis abschätzen, vor allen Dingen dann, wenn die zu bestimmende Wurzel nicht allzu groß ist. Für die meisten Aufgaben, die in der Praxis (nicht in der Schule!) vorkommen, ist ein Schätzwert durchaus ausreichend.
2. Bedingung für diese Methode ist allerdings die Kenntnis von Quadratzahlen im Bereich bis etwa 400 = 20². 
3. Ein Beispiel: Sie sollen die Wurzel von 40 bestimmen. Die nächstkleinere und die nächstgrößere Quadratzahl ist 36 bzw. 49. Wurzel 40 ist also 6,?.
4. Eine Näherung für die fragliche Nachkommastelle können Sie mit etwas Überlegung (und Erfahrung) auch angeben. 40 liegt näher an 36 als an 49. Wurzel 40 kann daher mit 6,3 oder 6,4 angenähert werden (zur Kontrolle: Der Taschenrechnerwert beträgt, auf zwei Stellen hinter dem Komma gerundet, 6,32).
5. Man kann den Schätzwert übrigens prüfen, indem man ihn schriftlich quadriert (also 6,3 x 6,3 = 39,59) und daraus eine bessere Abschätzung gewinnen. Diese Methode nennt man übrigens Einschachteln.
6. Ist man auf diese Abschätzmethode beim Wurzelrechnen öfter angewiesen, sollte man sie üben (und seine Schätzung mit dem Taschenrechner überprüfen), sodass man im Laufe der Zeit Erfahrung damit gewinnt.
7. Die Wurzel aus größeren Zahlen lässt sich übrigens berechnen, indem man die Zahl multiplikativ aufspaltet und aus den beiden Faktoren die Wurzel einzeln bestimmt. So ist 280 = 100 x 2,8. Also Wurzel (280) = 10 x Wurzel (2,8).

Ohne Taschenrechner - so funktioniert's genauer

Die Mathematiker und Naturwissenschaftler früherer Zeiten hatten natürlich noch keine Taschenrechner für das Wurzelrechnen zur Verfügung. Daher haben sie im Laufe der Jahrhunderte mehrere Möglichkeiten und Formeln entwickelt, mit denen sich Wurzeln in der jeweils geforderten Genauigkeit berechnen lassen.

1. Eine relativ einfach anzuwendende Formel für das Wurzelrechnen ohne Taschenrechner ist die folgende, übrigens schon im Altertum bekannte Näherung: Wurzel (a² +b) ist ungefähr a + (b/2a).
2. In diesem Fall wird die Zahl ebenfalls zerlegt, und zwar in eine kleinere Quadratzahl a² und einem Rest b.
3. Auch hierzu wieder das Beispiel von oben: 40 = 36 + 4. Man erhält a = 6 sowie b = 4 in dieser Formel.
4. Dementsprechend ist eine Näherung für Wurzel (40) = 6 + (4/12) = 6,3, ein guter Näherungswert.
5. Diese Formel funktioniert übrigens immer. Allerdings muss man die Quadratzahlen gut kennen. 
6. Eine grafische Lösung ist auch noch möglich. Zeichnen Sie - möglichst genau und auf Millimeterpapier - die Quadratfunktion y = x² . Suchen Sie dann die Zahl, zu der die Wurzel berechnet werden soll, auf der y-Achse. Die dazugehörige Wurzel befindet sich dann auf dem x-Abschnitt dieser Parabel.