Ausgleichsgerade - einfach erklärt

Ausgleichsgerade - was ist das?

• Meist tritt eine Ausgleichsgerade auf, wenn es darum geht, eine gemessene oder anders gefundene Punktmenge naturwissenschaftlich oder statistisch zu interpretieren.
• Meist werden diese Messergebnisse in einem Koordinatenkreuz als Punktwolke dargestellt. Böse Zungen nennen dies sogar "Sternenhimmel", weil die Verteilung diesem manchmal ähnelt.
• Sollen diese Messergebnisse mit einer Geraden y = mx + b beschrieben werden (einfach, weil es gut passt oder eine Theorie dies voraussagt), dann gilt es, diese Gerade so gut wie möglich in diese Punktwolke einzupassen. 
• Die optimale Gerade, die zu diesen Punkten passt, wird Ausgleichsgerade genannt. Aber was bedeutet in diesem Zusammenhang "optimal"?
• Auch solch eine Ausgleichsgerade wird zu den meisten Punkten einen Abstand haben, es sei denn, man hat wirklich gut gearbeitet und es passt.
• Optimal ist eine Gerade mathematisch dann, wenn sie so gelegt ist, dass die Summe über alle Abstände minimal wird. Solch eine Gerade zu finden, ähnelt bei gegebenen Punkten einer Extremwertaufgabe, bei der zu einer gegebenen Funktion ein Minimum gesucht werden soll.
• In diesem Fall sollen sowohl die Steigung m als auch der Abschnitt b dieser Ausgleichsgeraden so bestimmt werden, dass die Summe der Abstände der Punkte zu der Geraden minimal wird.

So bestimmen Sie die Ausgleichsgerade

Nicht nur Studenten in ihren Praktika, sondern auch Psychologen und Mediziner, die Statistiken auswerten müssen, stehen vor dem Problem, zu erhobenen Messwerten oder Daten eine Ausgleichsgerade zu finden, die in optimaler Form die grafischen Punkte beschreibt (siehe oben).

• Wenn Sie Ihre Daten grafisch in einem Koordinatensystem darstellen, können Sie oft schon nach Gefühl und Augenmaß eine gute Näherung für die gewünschte Ausgleichsgerade einzeichnen (siehe Foto) und an dieser Steigung und Achsenabschnitt ablesen. Achten Sie darauf, dass dabei Ihre Messpunkte ebenmäßig um diese Gerade herum liegen sollten. Es erstaunt, dass gerade diese Methode zwar nicht die optimale Gerade liefert, jedoch in den meisten Fällen eine wirklich gute Näherung.
• Die Extremwertaufgabe, die oben beschrieben wurde, lässt sich mathematisch lösen. Es ergeben sich für m und b Formeln, die Summen Ihrer Messwerte enthalten (vgl. Formelsammlungen wie z. B. Bronstein, dort Stichwort "Auswertung von Beobachtungsergebnissen" suchen). Wenn Sie nicht Unmengen an Messdaten haben, ist dies ein durchaus gangbarer Weg, die Ausgleichsgerade zu berechnen. Ein Taschenrechner ist hilfreich.
• Viele wissenschaftliche Taschenrechner verfügen über die Möglichkeit, zu einer gegebenen Punktemenge die optimale Ausgleichsgerade zu finden. In diesem Fall geben Sie der Reihe nach Ihre Werte ein und erhalten dann Werte für m und b. Ein Blick in die Bedienungsanleitung hilft hier weiter.
• Auch etliche Matheprogramme helfen weiter.