Ableitung e hoch minus x - so geht`s

Kettenregel für Ableitungen - einfach erklärt

• Die Kettenregel ist für Ableitungen von Funktionen zuständig, die als zusammengesetzt bezeichnet werden. Sie lassen sich (meist) daran erkennen, dass in einer Funktion eine weitere "versteckt" ist.
• Beispiele für solche Funktionen sind sin (x²) oder auch e^-x³. In beiden Fällen stecken zwei Funktionen ineinander, nämlich x² in der Winkelfunktion sin sowie -x³ als Exponent der Exponentialfunktion.
• Um derartige Funktionen abzuleiten, benötigen Sie die versteckte Funktion als Hilfsfunktion sowie die Ausgangsfunktion und deren Ableitungen.
• Nach der Kettenregel gilt nämlich, dass die Ableitung der ursprünglichen Funktion gleich der Ableitung der Ausgangsfunktion mal der Ableitung der Hilfsfunktion ist. Klingt kompliziert, ist es aber nicht, wie das Beispiel "e hoch minus x" gleich zeigen wird.

e hoch minus x ableiten - so wird's gemacht

Mathematik schreiben Sie für "e hoch minus x" natürlich die geläufige Form f(x) = e^-x. Von dieser Funktion suchen Sie die Ableitung.

1. Zunächst müssen Sie erkennen, dass -x hier die versteckte Funktion ist. Sie nehmen diese als Hilfsfunktion, man bezeichnet sie einfach als z = -x (in manchen Mathematikwerken wird diese Hilfsfunktion auch mit g(x) bezeichnet; z ist jedoch einfacher zu handhaben, wie Punkt 2. zeigt).
2. Die (vereinfachte) Ausgangsfunktion lautet dann f(z) = ez.
3. Für die Kettenregel benötigen Sie noch die Ableitungen der beiden Funktionen. Es gilt z' = -1 (die Ableitung von -x ist -1) und f'(z) = e^z (die Ableitung der e-Funktion ist die e-Funktion selbst, nur das Argument ist hier nun z).
4. Nach der Kettenregel entsteht die Ableitung der Gesamtfunktion, indem man die beiden Ableitungen f'(z) und z' multipliziert. Sie erhalten also f'(x) = f'(z) * z' = e^z * (-1) = - e^z = - e^-x. Beachten Sie unbedingt, dass Sie die Hilfsfunktion z wieder zurück einsetzen müssen, schließlich ist die Variable von f(x) ja x und nicht z.

Die Ableitung von "e hoch minus x" ist also einfach "-e hoch minus x".