Rücksubstitution am Beispiel richtig erklärt

Biquadratische Gleichungen lösen - so gehen Sie vor

Biquadratische Gleichungen sind Gleichungen, in denen die Unbekannte x in der vierten Potenz (x⁴) sowie als Qudrat (x²) vorkommt. Solche Gleichungen haben die allgemeine Form: ax⁴ + bx² + c = 0. Die Form ähnelt einer quadratischen Gleichung, nur hat man es mit höheren Potenzen zu tun.

1. Derartige Gleichungen können leicht auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden, indem man eine Substitution durchführt: x³ = z, eine neue Unbekannte, die zunächst berechnet wird.
2. Es entsteht eine quadratische Gleichung der Form az² + bz + c = 0, die leicht mit der abc-Formel oder (nach Teilen durch den Koeffizienten a) mit der bekannteren pq-Formel gelöst werden kann.

Biquadratische Gleichung - ein durchgerechnetes Beispiel

Als Beispiel soll die biquadratische Gleichung 16 x⁴ - 136 x² + 225 = 0 komplett durchgerechnet werden.

1. Sie substituieren, also ersetzen, x² = z und erhalten die quadratische Gleichung:
2. 16 z² - 136 z + 225 = 0
3. Diese Gleichung soll mit der pq-Formel gelöst werden. Sie teilen also die gesamte Gleichung zunächst durch 16, um die für diese Formel notwendige Form zu erhalten:
4. z² - 8,5 z + 14,0625 = 0 (Beim Verwenden eines Taschenrechners können Sie mit Dezimalzahlen rechnen).
5. Die pq-Formel liefert nun die beiden Lösungen z₁ = 6,25 und z₂ = 2,25

Rücksubstitution - so berechnen Sie "x" im Beispiel

Die Beispielaufgabe ist natürlich noch nicht beendet, denn Sie sollen ja die Unbekannte "x" berechnen. Bisher haben Sie jedoch nur für die Unbekannte "z" zwei Lösungen gefunden.

1. Es steht die sogenannte Rücksubstitution an, bei der Sie wieder zur Unbekannten "x" kommen.
2. Sie hatten x² = z gesetzt, dies müssen Sie jetzt im gewissen Sinne wieder rückgängig machen.
3. Es gilt in Ihrem Beispiel x² = 6,25 sowie x² = 2,25. Bei der Rücksubstitution setzen Sie also die gefundenen Lösungen für z ein.
4. Diese beiden Gleichungen für x lassen sich durch Wurzelziehen leicht lösen und Sie erhalten vier Lösungen, nämlich x₁ = 2,5, x₂ = -2,5 sowie x₃ = 1,5 und x₄ = -1,5.

Gleichungen vierten Grades können maximal 4 Lösungen haben. Im vorliegenden Beispiel hat die biquadratische Gleichung tatsächlich diese maximale Anzahl an Lösungen. Es kann jedoch auch vorkommen, dass Sie nur 2 Lösungen berechnen können, beispielsweise wenn eine der beiden Lösungen für z negativ ist. Sind beide Lösungen für z negativ, hat die biquadratische Gleichung überhaupt keine Lösung. Nach dem Verfahren der Substitution und Rücksubstitution lassen sich prinzipiell alle Gleichungen mit nur (!) geraden Exponenten bzw. auch Gleichungen lösen, die nur Exponenten der Form x⁶ und x³ etc. enthalten hier x³ = z setzen, dann bei der Rücksubstitution die dritte Wurzel ziehen).