x ausklammern - so klappt's für die Nullstellenberechnung bei Polynomen

Nullstellen bei Polynomen - hier können Sie "x ausklammern"

• Ein Polynom, auch ganzrationale Funktion genannt, kann bei der Berechnung der Nullstellen eine richtige "Knacknuss" sein. Denn je höher der Grad des Polynoms, desto schwieriger gestaltet sich diese Aufgabe im Allgemeinen.
• Die Nullstellen einiger Polynome lassen sich jedoch recht leicht berechnen und zwar, indem Sie x (oder eine höhere Potenz von x) ausklammern und dadurch den Grad des Polynoms erniedrigen.
• Grundvoraussetzung - und diese sollten Sie immer zuerst prüfen, bevor Sie mit dem Ausklammern beginnen - ist, dass alle Terme des Polynoms die Variable "x" enthalten. Anders formuliert: Ihr Polynom darf kein konstantes Glied haben.
• Das Ausklammern von x ist also beispielsweise bei dem Polynom f(x) = x³ - 2x möglich, jedoch nicht bei g(x) = x³ - 2x +5. (Für den letzteren Fall gibt es andere Möglichkeiten).

Nullstellen - ein durchgerechnetes Beispiel

Gegeben sei das Polynom f(x) = x⁴ + 8x, das die genannte Voraussetzung erfüllt.

1. Setzen Sie den Funktionsterm = 0, um die Nullstellen des Polynoms zu berechnen. Sie erhalten x⁴ + 8x = 0
2. Nun klammern Sie x aus und erhalten folgenden Klammerausdruck: x _* (x³ + 8) = 0
3. Jetzt folgt ein Rechentrick, den Sie in diesem Zusammenhang kennen müssen. Ein Ausdruck der Form a _* b kann nur dann Null werden, wenn entweder a = 0 oder b = 0 ist (zum Beispiel ist 0 _* 3 = 0).
4. Diesen Sachverhalt müssen Sie nun auf die beiden Teile (also auf "x") und auf die Klammer (x³ + 8) anwenden.
5. Es ergibt sich zunächst x = 0: Die erste Nullstelle des Polynoms liegt also bei x₁ = 0. Diese erste Nullstelle ergibt sich beim Ausklammern immer und darf keinesfalls vergessen werden!
6. Dann setzen Sie (x³ + 8) = 0 und rechnen x³ = - 8 sowie durch Ziehen der dritten Wurzel x₂ = -2, die zweite Nullstelle des Polynoms.

Auch bei der Funktion g(x) = x⁵- 16 x³ können Sie x ausklammern. Günstiger ist es hier jedoch, gleich die höchstmögliche Potenz von x auszuklammern, also in diesem Fall x³.