Additionsverfahren bei 3 Gleichungen - so wird's gemacht

Das Additionsverfahren - Grundwissen

Gleichungen mit mehreren Unbekannten, im einfachsten Fall zwei Gleichungen mit den Unbekannten x und y, lassen sich mit drei sog. Standardverfahren lösen. Dabei handelt es sich um Gleichsetzungsverfahren, Einsetzungsverfahren und das bei Schülern nicht so beliebte Additionsverfahren, auf dem übrigens auch der gaußsche Algorithmus basiert.

• Um das Additionsverfahren anzuwenden, sollten Sie die Gleichungen zunächst nach den Unbekannten sortieren, der Zahlenwert kommt auf die rechte Gleichungsseite. Diese kleine Vorarbeit schafft Überblick!
• Ziel des Verfahrens ist es, durch Multiplizieren einer (oder ungünstiger gar beider) Gleichungen mit einer geschickt gewählten Zahl zu erreichen, dass diese Unbekannte beim Addieren der beiden Gleichungen herausfällt, sprich: sich wegaddiert.
• Die beiden Gleichungen 3x + 2y = 7
• sowie                             4x - y = 12
• lassen sich leicht mit diesem Verfahren bearbeiten. Multiplizieren Sie zunächst die zweite Gleichung mit 2 und Sie erhalten
•                                       3x + 2y = 7
• und                                   8x - 2y = 24
• Man sieht schon, dass in diesem Fall beim Addieren die Unbekannte y herausfällt. Sie erhalten nach dem Addieren der beiden Gleichungen nämlich 11x = 31. Hieraus können Sie die Unbekannte x berechnen.
• Wichtig ist es bei dem Verfahren, immer wieder beide Gleichungen passend mit den Unbekannten untereinanderzuschreiben, damit Sie den Überblick über Ihre Rechnungen nicht verlieren - gerade dieser Sachverhalt macht das Additionsverfahren nicht so beliebt.

Additionsverfahren bei 3 Gleichungen - so gehen Sie vor

• Das Additionsverfahren, das ja ein bisschen Schreibarbeit erfordert, lohnt sich jedoch gerade bei drei Gleichungen mit drei Unbekannten. Kein anderes Verfahren führt hier so übersichtlich zum Ziel.
• Zunächst sortieren Sie die drei Gleichungen nach Unbekannten und Zahlen und schreiben diese passend untereinander. Zusätzlich kann es zweckmäßig sein, die Gleichungen durchzunummerieren, was sich im Übrigen immer bei mehreren Unbekannten empfiehlt.
• Zunächst wählen Sie eine der Unbekannten aus, die bei dem Verfahren herausfliegen soll. Meist wählt man die Unbekannte, bei der sich die einfachsten Multiplikationen ergeben.
• Nun müssen Sie das Additionsverfahren zweimal durchführen, und zwar für je zwei (!) Gleichungen aus Ihren drei Gleichungen. Ob Sie dabei "Gleichung 1 + Gleichung 2" und dann "Gleichung 2 und Gleichung 3" wählen oder eine andere Kombination, bleibt Ihnen überlassen. Keinesfalls jedoch dürfen Sie zweimal zwei gleiche wählen. 
• Nach diesem Additionsdurchgang verbleiben zwei Gleichungen mit den beiden übrig gebliebenen Unbekannten, die Sie dann nach einem Verfahren Ihrer Wahl lösen können.

Additionsverfahren - ein durchgerechnetes Beispiel mit 3 Unbekannten

In diesem Beispiel soll das Gleichungssystem (1) 9x = 3 - 2y - 3z, (2) 12 x - y = 6 - 12z und (3) 2x + y - 2z = -4 ausführlich nach dem Additionsverfahren durchgerechnet werden. 

1. Ordnen Sie das System und Sie erhalten die Gleichungen
2. (1) 9x  +  2y +  3z  = 3
3. (2) 12x -   y + 12z = 6
4. (3) 2x + y  - 2z = -4
5. Schaut man sich in diesem Gleichungssystem die Zahlenfaktoren vor den Unbekannten an, so wird man wohl y als rauszuwerfende Unbekannte wählen, denn dort ist dies besonders einfach. Multiplizieren Sie die Gleichung (2) mit 2 und addieren Sie diese zur Gleichung (1):
6. (1) 9x  +  2y +  3z  = 3
7. (2) 24x - 2y + 24 z = 12, so erhalten Sie:
8. 888 33x + 27 z = 15
9. Nun wenden Sie das Additionsverfahren ein zweites Mal an. Die Unbekannte y fliegt direkt raus, wenn Sie Gleichung (2) und (3) direkt addieren:
10. (2) 12x -   y + 12z = 6
11. (3) 2x + y  - 2z = -4, und Sie erhalten:
12. 121212 14x + 10z = 2
13. Die beiden Gleichungen aus 8. und 12. können Sie nun nach einem Verfahren Ihrer Wahl lösen. Dies kann durchaus wiederum das Additionsverfahren sein, muss es aber nicht.