Resubstitution - Anleitung

Die Substitution

Substitutieren bedeutet so viel wie "ersetzen". In der Mathematik wird dieses Prinzip eingesetzt, um komplizierte Gleichungen zu vereinfachen und so die Lösung leichter berechnen zu können.

1. In der Schule wird die Substitution meistens angewendet, wenn in einem Term höhere Quadratzahlen als 3 vorkommen. Typischerweise haben Sie dabei einen Termin mit zwei Hochzahlen. Dabei ist eine Hochzahl doppelt so groß, wie die andere. So können Sie durch Substitution immer auf die neue Gleichung u²+u=0 kommen.
2. Ein klassisches Beispiel besteht aus drei Komponenten. Die Erste hat eine hohe Hochzahl, die Zweite eine genau halb so hohe Hochzahl. Die dritte Komponente ist eine einfache Zahl. Ein Beispiel wäre 3x⁴+9x²-162=0.
3. Dabei wird x² durch ein u ersetzt, sodass sich die substituierte Formel 3u²+9u-162=0 ergibt. Diese Formel ist viel einfacher zu lösen als die Vorhergehende, da hier die Mitternachtsformel angewendet werden kann.
4. Substitution kann aber auch bedeuten, dass Sie einen kompletten Teil eines Terms durch einen einfacheren ersetzen. So können Sie zum Beispiel aus (4x⁵+7x+3)⁴ durch Substitution u⁴ machen. So ist der Term leichter zu lösen. Am Ende müssen Sie allerdings wieder (4x⁵+7x+3) für das u einsetzen, um die endgültige Lösung zu ermitteln. Diese Substitution ist allerdings in der Schule nicht sehr geläufig.

Die Resubstitution

1. Durch die Vereinfachung der Formel können Sie leicht das u ausrechnen. Allerdings war das Ausgangsproblem für Sie, das x zu ermitteln. Dies erreichen Sie durch die Resubstitution. Sie machen so, wie der Name schon sagt, die Substitution wieder rückgängig.
2. Die Resubstitution ist dabei eine ganz einfache mathematische Operation. Sie machen dabei die zuvor durchgeführte Substitution rückgängig, indem Sie umgekehrt zum ersten Beispiel das u durch ein x² ersetzen, oder durch eine höhere Hochzahl, je nachdem, wie Sie substituiert haben.
3. Im ersten Beispiel haben Sie die Lösungen u₁=6 und u₂=-9. Jetzt setzen Sie einfach x²=6 und x²=-9. Ziehen Sie die Wurzel der hinteren Zahlen.
4. Beachten Sie, dass Sie aus negativen Zahlen keine Wurzel ziehen können. Tritt dieser Fall auf, dann gibt es keine Lösung. Die Lösung hier ist also nur "Wurzel 6" und "minus Wurzel 6", da x²=-9 nicht lösbar ist.

Durch Substitution haben Sie also die Möglichkeit, eine auf den ersten Blick kompliziert aussehende Gleichung zu vereinfachen. Nach Durchführung der benötigten Rechenoperationen müssen Sie dann die Resubstitution anwenden, um wieder auf die ursprüngliche Gleichung Bezug zu nehmen.