Quadratische Funktionen - aus Textaufgaben die richtige Funktion aufstellen

Quadratische Funktionen - einfach erklärt

• Meist werden Sie in der Schule statt "quadratische Funktion" den Begriff "Parabel" benutzt haben, denn der Graph solcher Funktionen ist tatsächlich eine Parabel.
• Solche Parabeln sind - je nach Funktionsgleichung - nach oben oder unten geöffnet, enger oder breiter, haben oft Nullstellen und immer (!) einen tiefsten oder höchsten Punkt, der Scheitel der Parabel.
• Die allgemeine Form solcher quadratischen Funktionen können Sie leicht aufstellen, sie heißt f(x) = y = ax² + bx + c.
• Dabei sind die Buchstaben (oder Koeffizienten) a, b und c Stellvertreter für Zahlen, die Lage und Form der Parabel bestimmen.
• Ein Beispiel für solch eine quadratische Funktion ist f(x) = 2x² - 3x + 7

Aus Textaufgaben die Funktion gewinnen - so wird's gemacht

Nicht nur Anwendungsaufgaben aus dem täglichen Leben, auch viele wissenschaftliche Fragestellungen führen auf quadratische Funktionen. Und die findet man natürlich in Mathebüchern als Textaufgaben.
So haben beispielsweise viele Brückenstatiken die Form einer Parabel und jeder Parabelspiegel, jede Parabolantenne nimmt die Form einer Parabel an.

• Meist begegnen Ihnen die Textaufgaben in der Form, dass Sie über die Parabel, die Sie aufstellen sollen, Einiges wissen, beispielsweise Punkte, durch die die Parabel geht. Manchmal müssen Sie diese Informationen auch aus einer Skizze gewinnen.
• Da die allgemeine Form quadratischer Funktionen stets die Unbekannten a, b und c enthält (die Sie bestimmen bzw. errechnen müssen), benötigen Sie immer (!) drei Informationen bzw. drei Punkte, durch die die Parabel gehen soll. Merkregel: Anzahl der Unbekannten = Anzahl der Infos bzw. Punkte.
• Sie werden es schon ahnen: Es läuft auf ein Gleichungssystem hinaus mit den drei Unbekannten a, b und c.
• Dieses Gleichungssystem müssen Sie - aus den Infos der Textaufgabe heraus - aufstellen.
• Dazu müssen Sie wissen: Wenn eine quadratische Funktion y = ax² + bx + c durch einen bestimmten Punkt P, den Sie kennen, gehen soll, dann müssen sowohl die x- als auch die y-Koordinate des Punktes die Funktionsgleichung erfüllen.

Das Ausrechnen beginnt jetzt

1. Setzen Sie also in die obige Gleichung die beiden Koordinaten ein, es verbleiben die Unbekannte a, b und c.
2. Das Gleiche tun Sie nun für die beiden weiteren Punkte, die Sie von der Parabel kennen.
3. So erhalten Sie letztendlich drei Gleichungen mit den Unbekannten a, b und c, die Sie - leider - lösen müssen. Erinnerung: Hierzu gibt es das Einsetzungsverfahren oder das Additionsverfahren. Das Gleichsetzungsverfahren ist bei drei Unbekannten weniger geeignet.

Textaufgaben mit quadratischen Funktionen - ein Beispiel

Ein typisches Beispiel für das Bestimmen quadratischer Funktionen sind Radioteleskope, eine Vorrichtung zum Empfang von Radiostrahlung aus dem Weltall (vgl. Foto). Diese haben nämlich ein parabelförmiges Querschnittsprofil. Ein Radioteleskop hat einen Durchmesser von 25 m und eine Tiefe von 4,4 m. Die Aufgabe lautet, die quadratische Funktion für das Querschnittsprofil zu erstellen.

1. Fertigen Sie zunächst eine Skizze an, bei der Sie in einem Koordinatensystem das Radioteleskop einzeichnen. Wählen Sie dabei eine zur y-Achse symmetrische Form; der tiefste Punkt des Querschnittprofils liegt dann auf der y-Achse, und zwar bei -4,4.
2. Der Durchmesser des Teleskops liegt auf der x-Achse. So befindet sich das Teleskop komplett unterhalb der x-Achse (was jedoch nicht weiter stört).
3. Die drei wichtigen Punkte Ihrer quadratischen Funktion sind P1 (0/-4,4), der Tiefpunkt oder Scheitel, und P2 (-12,5/0) sowie P3 (+12,5/0). Hier endet jeweils der Durchmesser links und rechts.
4. Die allgemeine Form der quadratischen Funktion heißt y = ax² + bx + c.
5. Sie suchen a, b und c.
6. Einsetzen der x- und y-Koordinaten der drei Punkte liefert das Gleichungssystem:
7. -4,4 = c (für P1; x ist hier Null!)
8. 0 = a _* (-12,5)² + b _* (-12,5) - 4,4 (für P2 und c = -4,4 gleich einsetzt)
9. 0 = a _* (12,5)² + b _* (12,5) - 4,4 (für P3)
10. Sie erhalten zwei Gleichungen mit den beiden Unbekannten a und b, die Sie leicht lösen können (Additionsverfahren ist hier günstig!).