Scheitelpunktform in faktorisierte Form umformen - so klappt's bei einer Parabel

Scheitelpunktform einer Parabel - das sollten Sie wissen

• Jede quadratische Funktion der Form y = ax² + bx + c lässt sich in die sog. Scheitelpunktform y = a (x - x_s)² + y_s umformen, am einfachsten gelingt dies mit der quadratischen Ergänzung. Dies ist immer möglich, da jede Parabel einen Scheitel hat.
• Aus der Scheitelpunktform lässt sich der Scheitel, sprich der höchste oder tiefste Punkt der Parabel, leicht ablesen, er ist nämlich S (x_s / y_s).

Faktorisierte Form - was ist das?

• Dabei handelt es sich um eine sog. Linearfaktorzerlegung der quadratischen Funktion.
• Die Parabelgleichung wird in diesem Fall mit zwei einfachen Klammern darstellt und hat die Form y = a (x - x₁)_*(x-x₂). 
• Dabei handelt es sich bei x₁ und x₂ um die beiden Nullstellen (Schnittpunkte mit der x-Achse) der Parabel, die verschieden, aber auch identisch sein können. 
• Die faktorisierte Form existiert selbstredend nur dann, wenn die Parabel mindestens eine Nullstelle hat. Parabeln, die komplett oberhalb oder unterhalb der x-Achse liegen, können in faktorisierter Form nicht dargestellt werden.

Scheitelpunktform in faktorisierte Form bringen - so können Sie vorgehen

Abhängig von der Aufgabenstellung gibt es mehrere Möglichkeiten, die Parabel von der Scheitelpunktform in die faktorisierte Form zu bringen, vorausgesetzt natürlich, diese existiert (s.o.).

• Vielleicht nicht die Einfachste, aber eine rechnerisch gangbare Möglichkeit ist es, aus der Scheitelpunktform die Nullstellen x₁ und x₂ zu berechnen. 
• Hierfür setzen Sie die Scheitelpunktform einfach gleich Null (schließlich wollen Sie ja die Nullstellen berechnen), bringen y_s sowie a auf die andere Seite und ziehen die Wurzel aus beiden Gleichungsseiten. Beachten Sie, dass es sowohl eine negative als auch eine positive Wurzel gibt, woraus Sie die beiden Nullstellen erhalten.
• Nun müssen Sie das gefundene Ergebnis für x₁ und x₂ nur noch in die faktorisierte Form (s. o.) einsetzen. 

Faktorisierte Form finden - ein durchgerechnetes Beispiel

Sie haben die Parabel in der Scheitelpunktform y = 1/2 (x - 3)² -1 vorliegen. Der Scheitel dieser Funktion liegt übrigens bei S (3/-1) (auf die Vorzeichen achten!).

1. Setzen Sie die Scheitelpunktform Null und Sie erhalten 0 =  2 (x - 3)² -1.
2. Rechnen Sie +1, sowie dann mal 2 und Sie erhalten 2 = (x - 3)².
3. Nun ziehen Sie auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel (TR benutzen) und erhalten ± 1,41 (gerundet für Wurzel 2) = x - 3.
4. Hieraus berechnen Sie die beiden Nullstellen x₁ = 4,41 sowie x₂ = 1,59. 
5. Die faktorisierte Form dieser Parabel lautet daher y = 1/2 (x - 4,41)_*(x-1,59).