Scheitelpunktform in Normalform umwandeln - so geht's bei einer Parabel

Die Scheitelpunktform hat allgemein die Form f(x)=a*(x+b)²+c. Der Vorteil dieser Form ist es, dass Sie leicht den Scheitelpunkt ablesen können. Er entspricht (-b/c). Wenn Sie allerdings einen anderen Punkt, wie zum Beispiel die Nullstellen, berechnen wollen, gelingt dies leichter mit der Normalform, die allgemein die Form f(x)=ax²+bx+c besitzt. Hierbei entsprechen die Parameter a, b und c der Scheitelpunktform nicht den Parametern der Normalform. Daher müssen Sie die Scheitelpunktform in die Normalform umwandeln.

So machen Sie die Scheitelpunktform zur Normalform

1. Rechnen Sie zuerst die Quadratklammer aus. Dies gelingt mit den binomischen Formeln. Allgemein gilt: (x+b)²= (x²+2*b*x+b²) bzw. (x-b)²=(x²-2*b*x+x²). Lassen Sie die Klammer vorerst stehen.
2. Verrechnen Sie als Nächstes den Faktor vor der Klammer mit der Klammer. Es folgt also allgemein a*(x²+2*b*x+b²)=ax²+2*a*b*x+a*b².
3. Nun müssen Sie nur noch c mit a*b² zusammenfassen und schon haben Sie das Umwandeln erfolgreich durchgeführt. Allgemein kann die Normalform so zusammengefasst werden: f(x)=ax²+2abx+(ab²+c). Hier entsprechen die Parameter a, b und c den Werten aus der Scheitelpunktform. Sie sehen also, dass Sie nicht mit den Parametern der Normalform zu verwechseln sind.

Ein Beispiel für das Umwandeln

1. Die Scheitelpunktform lautet in diesem Beispiel f(x)=2*(x-3)²+1. Wenn Sie die Quadratklammer auflösen, erhalten Sie f(x)=2*(x²-6x+9)+1.
2. Wenn Sie den Faktor mit der Klammer verrechnen, ergibt sich folgende Funktion: f(x)=2x²-2*6x+2*9+1 . Durch Verrechnen der Faktoren erhalten Sie f(x)=2x²-12x+18+1.
3. Als Letztes müssen Sie nur noch die Zahlen ohne die Variable x verrechnen. Sie erhalten folglich f(x)=2x²-12x+19. Dies ist die Normalform der Parabel.