Streckfaktor einer Parabel berechnen - so geht's

Parabel - das müssen Sie wissen

Eine Parabel ist der Graph einer quadratischen Funktion der Form f(x) = ax²+bx+c. Sie besitzt einen Scheitelpunkt und ist je nach Vorzeichen des Streckfaktors a nach oben oder unten geöffnet.

• Ist a > 0, dann ist die Öffnung der Parabel nach oben gerichtet. Für a < 0 ist die Öffnung der Parabel nach unten gerichtet.
• Liegt der Streckfaktor a zwischen -1 und +1, dann spricht man von einer Streckung der Parabel bezüglich der x-Achse. Gilt a > +1 oder a < -1, dann ist die Parabel gestaucht.
• Es kann auch sein, dass Ihre Parabel in der Scheitelpunktform f(x) = a(x-d)²+e gegeben ist. Die allgemeine Darstellung können Sie jederzeit durch quadratische Ergänzung in die Scheitelpunktform überführen.

So bestimmen Sie den Streckfaktor der Parabel

• Besonders einfach ist es natürlich, wenn Sie die Funktionsgleichung der Parabel gegeben haben. Sie müssen lediglich das a aus Ihrer Gleichung ablesen und haben den Streckfaktor bestimmt.
• Etwas schwieriger ist es, wenn Sie eine Zeichnung gegeben haben. Es gibt allerdings auch hier verschiedene Möglichkeiten, wie Sie vorgehen können. Diese finden Sie in den nächsten Abschnitten.

Ein Beispiel, um den Streckfaktor zu berechnen

Angenommen Sie haben den Graphen einer Parabel gegeben und Sie möchten die zugehörige Funktion dazu berechnen. Sie können die Parabelgleichung in der Scheitelform f(x) = a(x-d)²+e angeben.

1. Lesen Sie beispielsweise nun S(1|2) für den Scheitel ab, dann können Sie die Koordinaten des Scheitels in die obige Funktion einsetzen. Sie erhalten f(x) = a(x-1)²+2.
2. Nun benötigen Sie einen weiteren Punkt. Angenommen Sie lesen den weiteren Punkt P(2|3) der Parabel ab.
3. Führen Sie nun eine Punktprobe für diesen Punkt durch, dann erhalten Sie 3 = a(2-1)²+2 <=> 3 = a+2 <=> a = 1. Der Streckfaktor ist also 1.

Eine weitere Möglichkeit der Berechnung

Wenn Ihre Parabel zwei Nullstellen besitzt, dann können Sie die Parabelgleichung ähnlich einfach ermitteln.

1. Angenommen die Nullstellen sind N₁(1|0) und N₂(4|0). Dann können Sie wiederum die Funktionsgleichung der Parabel in Abhängigkeit vom Streckfaktor a angeben. Es gilt f(x) = a(x-1)(x-4).
2. Nun benötigen Sie wiederum einen weiteren Punkt. Lesen Sie beispielsweise nun den Scheitelpunkt S(2,5|4,5) ab, dann können Sie einmal mehr eine Punktprobe für S durchführen.
3. Sie erhalten 4,5 = a(2,5-1)(2,5-4) <=> 4,5 = a(1,5)(-1,5) <=> 4,5 = -2,25a <=> a = -2. Der Streckfaktor ist also -2.

Auch so können Sie den Faktor bestimmen

Sie können auch die Parabelgleichung bestimmen, wenn Sie 3 Punkte der Parabel abgelesen oder gegeben haben. Die Parabel ist dazu in der Form f(x) = ax²+bx+c gegeben.

1. Nun müssen Sie 3 Punktproben für Ihre 3 Punkte durchführen und das lineare Gleichungssystem mithilfe des Gauß-Algorithmus lösen, um die Parameter a,b und c zu bestimmen. Angenommen Ihre Punkte sind A(-1|1), B(0|0), C(2|4). Für die 3 Punktproben erhalten Sie die 3 Gleichungen 1 = a-b+c, 0 = c, 4 = 4a+2b+c.
2. Setzen Sie nun Gleichung 2 in die beiden anderen Gleichungen ein, so ergibt sich 1 = a-b und 4 = 4a+2b.
3. Lösen Sie die erste der beiden Gleichungen nach a auf: a = 1+b.
4. Setzen Sie diese in die zweite Gleichung ein und schon können Sie b bestimmen: 4 = 4(1+b)+2b <=> 0 = 6b <=> b = 0.
5. Daraus ergibt sich mit Gleichung 1: a = 1. Insgesamt haben Sie also die Parabelgleichung f(x) = x². Es handelt sich um die Normalparabel mit Streckfaktor 1.

Wie Sie sehen, gibt es unterschiedliche Möglichkeiten den Streckfaktor einer Parabel zu bestimmen.