Lineare Approximation - Anleitung

Die Grundidee der Approximation

Funktionsgleichungen sind Therme, die genau einem Wert einer Definitionsmenge einen der Zielmenge zuordnen. Eine übliche Schreibweise ist x -> f(x). f(x) ist eine Rechenregel, die dazu dient, den Funktionswert, auch y-Wert genannt, auszurechnen. Die Rechenregel kann kompliziert sein, das Errechnen der Funktionswerte kann also sehr aufwendig werden.

• Eine Funktion kann immer als grafische Abbildung dargestellt werden. Wenn Sie sich den Verlauf eines Funktionsgraphen betrachten, erkennen Sie, dass es für kleine Änderungen im Bereich des x-Wertes zu großen Änderungen im Bereich des y-Wertes kommen kann. Je steiler die Kurve in einem bestimmten Bereich verläuft, umso größer wirken sich die Änderungen des x-Wertes auf den y-Wert aus.
• Eine Tangente ist eine Gerade, welche einen Graphen in einem Punkt berührt. Folglich muss die Gerade die gleiche Steigung aufweisen wie der Graph. Betrachten Sie nun, wie sich der Funktionswert der Tangente und des Graphen verändert, wenn Sie den x-Wert des Berührpunktes ein wenig verändern. Sie sehen, dass sich die y-Werte der Tangente und des Graphen im Nahbereich kaum unterscheiden.

Diesen Zusammenhang nutzt man bei der linearen Approximation. Zum besseren Verständnis folgt nun ein Beispiel.

Tangente für die lineare Annäherung bestimmen

Aufgabe: Bestimmen von Funktionswerten im Bereich [0,9; 1,1] für f(x) = x³ + 2 x² + 5 x + 1.

1. Wählen Sie den Punkt x₀ = 1 um die Tangente anzulegen. Der Wert liegt in der Mitte des Intervalls, in dem die Funktionswerte errechnet werden sollen.
2. Bilden Sie die erste Ableitung, denn diese gibt die Steigung in jedem Punkt der Funktion an. f'(x) = 3 x² + 4 x + 5, f'(1) = 12.
3. Die allgemeine Formel für eine Tangentengleichung lautet t(x) = f'(x₀) (x-x₀) + f(x₀). Der Funktionswert f(x₀) 0 f(1) = 9. Ihre Tangentengleichung lautet also t(x) = 12 (x-1) + 9. 

Falls Sie sich nicht mehr an die Tangentengleichung erinnern können, lesen Sie im letzten Abschnitt eine andere Methode nach, wie die Gleichung bestimmt werden kann.

Vergleich der Funktions- und Näherungswerte

1. Berechnen Sie nun das Intervall, in dem die Funktionswerte liegen. Sie benötigen f(0,9) und f(1,1) Sie erhalten ein [7,849; 10,251]. Diese Rechnung ist mit einem Taschenrechner kein Problem. Ohne Taschenrechner müssen Sie eine Weile rechnen. Bei komplizierteren Thermen wäre sogar das Berechnen mit einem Computer aufwendig.
2. Betrachten Sie nun die Werte, die herauskommen, wenn Sie die lineare Approximation verwenden. t(0,9) = 12 (0,9-1) + 9= 7,8 und t(1,1) = 12 (1,1-1) + 9= 10,2. Die Werte, die Sie über die Tangentengleichung erhalten liegen im Intervall [7,8; 10,2]. Sicher ist Ihnen aufgefallen, wie leicht diese Rechnung ist, Sie brauchen für diese Berechnung sicher keinen Taschenrechner.
3. Das Ergebnisintervall, welches Sie über die Tangente berechnen, unterscheidet sich kaum vom Intervall, das durch die Funktionsgleichung bestimmt wird. Sie können also über die Tangentgleichung eine gute und einfache Annäherung errechnen.

Zweites Verfahren zur Herleitung der Tangentengleichung

1. Die allgemeine Funktionsgleichung einer Geraden ist f(x) = m x + a. Für die Tangentgleichung wählen Sie besser die Schreibweise t(x) = m x +a.
2. m ist die Steigung der Geraden und die Steigung der Kurve im Berührpunkt. Es gilt also m = f'(x₀) = 12.
3. Sie kennen nun die Steigung der Tangente und einen Punkt, durch den diese führt. Dieser Punkt ist der Berührpunkt P(1/f(1) = P(1/9).
4. Für die Tangenten gilt also t(1) = f(1) = 9 => t(1) = 12 + 1 + a => 9 = 12 + a => a=-3.
5. Ihre Tangentengleichung lautet demnach t(x) = 12 x - 3. Diese Gleichung ist identisch mit  t(x) = 12 (x-1) + 9, denn es gilt t(x) = 12 x - 12 + 9 => t(x) = 12 x - 3.

Wie Sie an dem Beispiel sehen, ist die lineare Approximation eine deutliche Vereinfachung der Rechnung und führt nur zu kleinen Ungenauigkeiten, die in vielen Anwendungen tolerierbar sind.