Funktionsgleichung in Normalform umwandeln - so geht's

Schreibweisen von Funktionsgleichungen

• Eine Funktionsgleichung stellt einen Zusammenhang zwischen zwei Größen her, aus der Sie die Änderungen der einen Größe in Abhängigkeit der anderen ermitteln können. x + y = 10 oder   (x+3)³ + 7 y = (x+ 1)² sind also zum Beispiel Funktionsgleichungen. Diesen Schreibweisen von Funktionsgleichungen werden Sie oft begegnen, wenn sie aus Textaufgaben eine Funktionsgleichung erstellen sollen. Volle Punkte bekommen Sie aber erst, wenn Sie diese in die Normalform gebracht haben. Die genannten Gleichungen sind mit Sicherheit nicht in der Normalform.
• Die Normalform ist immer die Schreibweise, bei der Sie zu jedem x-Wert direkt den y-Wert ausrechnen können. Ganz allgemein ist es bei Polynomen y = f(x) = a_n xⁿ + a_n-1 x^n-1 + ... + a₂ x² + a₁ x + a₀. Dabei ist a eine beliebige rationale Zahl und n eine beliebige natürliche Zahl. Um Sie nicht weiter zu verschrecken y = 3x + 5 oder y = 2x² + 4 x + 6  sind zum Beispiel Funktionsgleichungen in Normalform.
• Auch y = + Wurzel x oder y = 1/(x+1) bzw.  y = lg x sind Funktionsgleichungen in Normalform

Schritt für Schritt zur Normalform

Es geht beim Umwandeln von Funktionsgleichungen in die Normalform  immer darum die Variable y alleine auf die linke Seite des Gleichheitszeichens zu bekommen und der Rest muss auf der rechten Seite stehen. Bei den Polynomen darf es auf der rechten Seite auch keine Klammern mehr geben. Das erreichen Sie so:

1. Wenn Klammern vorhanden sind, müssen Sie diese auflösen. Beispiel 2(x+3) = 2 x + 3  oder (x + 4)² = x² + 8 x + 16. Falls Ihnen die binomischen Formeln nicht mehr einfallen, rechnen Sie (x+4)(x+4) = x² + 4 x + 4 x + 16 (Jedes Glied der einen Klammer mit jedem der anderen multiplizieren).
2. Achten Sie bei dem Rechenschritt darauf, ob weiterhin Klammern nötig sind, wenn ja eliminieren Sie diese. Beispiel x² + 3x - 12 - 2 (x + 4)² = x² + 3 x - 12 - 2 (x² + 8 x + 16) = x² + 3 x - 12 - 2 x² - 16 + 32
3. Fassen Sie nun die Variablen mit der gleichen Potenz zusammen. Beispiel: x² + 3 x - 12 - 2 x² - 16 x + 32 = x² - 2 x² + 3x - 16 x -12 + 32 = - x² - 13 x + 20.
4. Wenn Sie beide Seiten so zusammengefasst haben, müssen Sie einfach ausgedrückt jedes y nach links bringen und alles andere nach rechts. Dabei müssen Sie immer die gegenteilige Rechenoperation ausführen, steht dort - 2x dann müssen sie also + 2x rechnen. Beispiel: - x² - 13 x + 20 + 2 y = 4 y + x² + 5 | (sie rechnen) + x² +13 x -20 - 4 y und erhalten 2y - 4y = x² + x² + 13 x + 5 - 20.
5. Fassen Sie nun wieder zusammen. Sie bekommen - 2 y = 2 x² + 13 x - 15. Das ist noch nicht die Normalform, da bei y noch ein Faktor steht. Dividieren Sie durch den Faktor in dem Fall durch (- 2). Sie bekommen y = - x² - 6,5 x + 7,5. Jetzt haben Sie die Normalform.

Das ist die Funktionsgleichung einer nach unten geöffneten Normalparabel. Der Begriff Normalparabel wird verwendet, wenn bei x²  kein Faktor (bzw. der Faktor 1 oder - 1) steht. Das hat nichts mit der Normalform einer Funktionsgleichung zu tun.