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Funktionsgleichungen lösen - so gelingt es

Autor: Patricia Mevissen

Inhaltsverzeichnis

So lösen Sie Funktionsgleichungen.
So lösen Sie Funktionsgleichungen.
Funktionsgleichungen entstehen, wenn die Schnittpunkte zweier Funktionen, Nullstellen, oder ein bestimmter y-Wert gesucht sind. So eine Funktionsgleichung wirkt oft kompliziert und schwierig. Wenn Sie aber nach einem bestimmten System vorgehen, wird Ihnen das Lösen nicht mehr schwer fallen.

So berechnen Sie x in einfachen Funktionsgleichungen

Einfache Funktionsgleichungen liegen vor, wenn keine x mit Exponenten (wie zum Beispiel x2) vorhanden sind. So werden sie gelöst:

  1. Vereinfachen Sie beide Seiten der Gleichung so weit wie möglich, indem Sie zuerst die Zahlen ohne Variable und anschließend die Zahlen mit Variablen zusammengerechnet.
  2. Bringen Sie die Zahlen ohne Variable auf eine Seite, indem Sie, wenn eine positive Zahl vorliegt, die Zahl auf beiden Gleichungsseiten subtrahieren oder, wenn eine negative Zahl vorliegt, die Zahl auf beiden Gleichungsseiten addieren.
  3. Als Nächstes bringen Sie die Zahlen mit einer Variablen auf gleicher Weise auf die andere Seite.
  4. Dividieren Sie beide Gleichungsseiten durch die Zahl, die vor der Variablen steht. Die Lösung wird erhalten.

Das Lösen einer einfachen Gleichung anhand eines Beispiels

Die einzelnen Rechnungsschritte, entsprechen den Punkten in der vorherigen Beschreibung.

  1. 4x+11-5x=8+3x-5 - Zahlen mit Variablen werden zusammengefasst, genauso wie die Zahlen ohne Variablen.  (4-5)x+11=(8-5)+3x - Durch Ausrechnen erhalten Sie die vereinfachte Gleichung.
    -1x+11=3+3x
  2. -1x+11-3=3+3x-3 - Um 3 von der rechten Seite zu eliminieren, wird 3 auf beiden Seiten subtrahiert.
    -1x+8=3x - Um die -1x von der linken Seite zu eliminieren, wird 1x auf beiden Seiten addiert.
    -1x+8+1x=3x+1x - Wenn Sie die Zahlen mit Variablen verrechnet haben, erhalten Sie die einfache Gleichung.
    8=4x
  3. 8 : 4 = 4x : 4 - Die gesamte Gleichung wird durch 4, die Zahl, die vor der Variablen steht, dividiert.
    2=x

So lösen Sie Quadratfunktionsgleichungen

Quadratfunktionen enthalten mindestens ein x2. Die einfachste Art solche Gleichungen zu lösen, ist die p-q-Formel. Die Formel lautet allgemein:   x1/2 = -p/2 +/- [(p/2)2-q]1/2 anstelle des [...]1/2 kann auch eine Wurzel geschrieben werden. So lösen Sie Quadratfunktionen: 

  1. Tauchen in der Funktionsgleichung Potenzen an Klammern auf, müssen diese mithilfe der binomischen Formeln aufgelöst werden.
  2. Vereinfachen Sie beide Gleichungsseiten so weit wie möglich. Wie dies geht, finden Sie unter dem Punkt 1 vom Lösen einfacher Funktionsgleichungen. Beachten Sie, dass nur Zahlen mit Variablen, die gleiche Exponenten besitzen, verrechnet werden können.
  3. Bringen Sie alle Zahlen auf eine Seite, sodass auf der anderen Seite "= 0" verbleibt.
  4. Teilen Sie die Funktion durch die Zahl, die vor x2 steht, sodass Sie eine Funktion der Form x2+px+q=0 erhalten.
  5. Setzen Sie das p und das q in die p-q-Formel ein: x1 = -p/2 + [(p/2)2-q]1/2  und x2 = -p/2 - [(p/2)2-q]1/2 . Sollten Sie unter der Wurzel ein negatives Ergebnis erhalten, hat die Funktionsgleichung keine Lösung. Steht unter der Wurzel eine 0, so hat die Funktionsgleichung eine Lösung und steht unter der Wurzel eine positive Zahl, so hat die Funktionsgleichung zwei Lösungen.

Ein Beispiel für das Lösen einer Quadratfunktion

Auch hier entsprechen die Rechnungspunkte den in der Beschreibung aufgeführten Punkten:

  1. (x+2)2+4= 3x2+2x-12+2 - Berechnen Sie die Binomische Formel.
    x2+2x+4+4=3x2+2x-12+2
  2. x2+2x+4+4=3x2+2x-12+2 - Vereinfachen Sie beide Seiten der Funktionsgleichung.
    x2+2x+8=3x2+2x-10 - Im folgenden Schritt werden alle Zahlen von der linken Seite entfernt.
  3. x2-2x+8-x2= 3x2-2x-10-x2 - Um x2 von der linken Seite zu Eleminieren, subtrahieren Sie x2 auf beiden Seiten.
    -2x+8+2x=2x2-2x+2x-10 - Um -2x von der linken Seite zu eliminieren, addieren Sie 2x auf beiden Seiten.
    8-8= 2x2-10-8 - Um 8 von der linken Seite zu eliminieren, subtrahieren Sie 8 auf beiden Seiten.
    0= 2x2+0x-18
  4. 0/2=(2x2+0x-18)/2 - Dividieren Sie die gesamte Gleichung durch die Zahl, die vor dem x2 steht, in diesem Fall 2. 0= x2+0x-9 - Nach der allgemeinen Form kann p=0 und q=-9 aus der Gleichung entnommen werden.
  5. x1=0/2+[(0/2)2-(-9)]1/2- p und q wird in die p-q-Formel eingesetzt und berechnet.
  6. x1= 0+[0+9]1/2 - Die Gleichung wird vereinfacht und die Wurzel gezogen.
    x1= 0+3  
    x1=3 - Analog ergibt sich x2=3.

Sollte eine Funktion höheren Grades, z. B. x3 vorliegen, müssen Sie zuvor eine Polynomdivision durchführen.

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