Parabel - Eigenschaften

Wichtige Eigenschaften von Parabeln

Parabeln sind Graphen quadratischer Funktionen, die allgemein durch die Form f(x) = ax²+bx+c, mit a ungleich 0 und a, b, c aus den reellen Zahlen, beschrieben werden.

• Parabeln haben viele wichtige Eigenschaften, die zum Teil für die Wissenschaft und die Industrie von großer Bedeutung sind. Jede Parabel hat einen Scheitelpunkt. Diesen Scheitelpunkt können Sie besonders einfach aus der alternativen Darstellung (Scheitelpunktform) der Parabel f(x) = a(x-d)²+e ablesen. Die Scheitelpunktform können Sie durch quadratische Ergänzung der allgemeinen Form bestimmen. Der Scheitel der Parabel hat dann die Koordinaten S(d|e).
• Der Scheitel einer Parabel ist zugleich Extrempunkt. Es gilt daher f'(x_s) = 0. Ist die Parabel nach oben geöffnet (a > 0), dann ist der Scheitel zugleich Tiefpunkt. Ist sie nach unten geöffnet, so ist der Scheitelpunkt Hochpunkt.
• Eine Parabel besitzt eine senkrechte Spiegelachse, die parallel zur y-Achse verläuft und durch den Scheitelpunkt geht. Es gilt daher f(x_s+x) = f(x_s-x).
• Eine Parabel besitzt einen Brennpunkt und eine Leitgerade. Anwendung findet dies in der Technik mit dem Einsatz von Parabolspiegeln zur Bündelung von Sonnenlicht.

Beispiele zu Parabeln

Angenommen Sie haben die quadratische Funktion f(x) = x²+4x-8 mit x aus den reellen Zahlen gegeben.

• Dann können Sie sehr leicht einige Eigenschaften der Parabel nachweisen. Es gilt f'(x) = 2x+4 und 0 = 2x+ 4 <=> x = -2. Wegen f''(x) = 2 und f(-2) = -12 hat die Parabel and der Stelle S(-2|-12) einen Tiefpunkt (zugleich Scheitelpunkt). Die Scheitelpunktform lautet daher f(x) = (x+2)² - 12.
• Alternativ können Sie diese durch quadratische Ergänzung aus der allgemeinen Form bestimmen: f(x) = x²+4x-8 = x²+4x(+4-4)-8 = (x+2)² - 12. Dabei haben Sie einen mathematischen Trick angewendet und +4-4 = 0 dazuaddiert. Schauen Sie sich für die Umformung die ersten zwei Glieder des Terms an. Diese sind x² und +4x. Es ist also schon einmal klar, dass Sie die erste binomische Formel anwenden müssen und diese die Form (x+2)² hat. Diese hat nach Ausmultiplizieren im dritten Glied eine 4 stehen. Daher addieren Sie die 4 zunächst hinzu und ziehen Sie wieder ab.

Parabeln haben noch viele weitere schöne Eigenschaften. Als fortgeschrittener Mathematikfan können Sie sich ja einmal überlegen, wie die allgemeine Tangentengleichung an einen beliebigen Punkt der Parabel lautet.