Halbierungsverfahren - Erklärung und Durchführung

Erklärung des Halbierungsverfahrens

Oftmals werden in der Mathematik Nullstellen einer Funktion berechnet. Solange eine Nullstelle nicht gleichzeitig ein Hoch- oder Tiefpunkt ist, zeichnen sich Nullstellen dadurch aus, dass die y-Werte auf der einen Seite größer und auf der anderen Seite kleiner sind als Null. Dies ist die Grundlage für die Erklärung des Halbierungsverfahrens. So läuft das Verfahren ab:

1. Bei dem Halbierungsverfahren werden zwei x-Werte gesucht, wobei ein dazugehöriger y-Wert positiv und einer negativ sein soll.
2. Sind diese Werte gefunden, wird der Mittelwert der beiden x-Werte in die Funktion eingesetzt.
3. Ist das Ergebnis positiv, so wird der x-Wert, zu dem der negative y-Wert gehört, weiter verwendet. Anderenfalls wird im Folgenden der andere x-Wert verwendet.
4. Nun wird erneut der Mittelwert von dem Mittelwert von dem Punkt 2 und dem zu verwendenden x-Wert gebildet und ebenfalls in die Funktion eingesetzt.
5. Dieses Verfahren wird so oft hintereinander durchgeführt, bis die Nullstelle gefunden ist.

Da die beste Erklärung immer ein Beispiel ist, folgt ein Rechenbeispiel für das Halbierungsverfahren.

Beispiel für die Durchführung des Halbierungsverfahren

1. Als Beispiel ist die Funktion  f(x) = -2x + 4,5 gegeben. Setzen Sie x=0 ein und Sie erhalten den dazugehörigen y-Wert 4,5.
2. Aufgrund der negativen Steigung und dem positiven y-Achsenabschnitt der Geraden können Sie erkennen, dass Sie für einen positiven x-Wert einen negativen y-Wert erhalten können.
3. Setzen Sie also für x die Zahl 3 ein. Dadurch erhalten Sie den dazugehörigen y-Wert -1,2. Somit muss die tatsächliche Nullstelle zwischen diesen x-Werten liegen.
4. Der Mittelwert zwischen 0 und 3 beträgt 1,5. Setzen Sie diesen Wert also in die Funktion ein. Dadurch erhalten Sie den dazugehörigen y-Wert von 1,8.
5. Der Nullpunkt muss zwischen den Punkten (1,5/1,8) und (3/-1,2) liegen. Bilden Sie daher den Mittelwert zwischen 1,5 und 3. Er liegt bei 2,25.
6. Setzen Sie 2,25 in die Funktion ein und Sie erhalten 0 für den y-Wert. Somit liegt Ihre Nullstelle bei (2,25/0)

Weitere Anwendungsmöglichkeiten des Verfahrens

Natürlich könnten Sie bei dem Beispiel die Nullstelle auch auf herkömmliche Art und Weise berechnen. Aber gerade bei Funktionen höheren Grades, deren Nullstellen nur durch Polynomdivision bestimmt werden können, ist das Halbierungsverfahren eine gute Hilfe und Ergänzung. Mit dieser Technik können Sie sich aber auch Wurzeln, Logarithmen u. Ä. nähern. Wissen Sie also einmal nicht, wie Sie eine Funktion oder einen mathematischen Ausdruck nach einer Unbekannten auflösen können, versuchen Sie einfach dieser Zahl mit dem Halbierungsverfahren zu bestimmen.