Der Zusammenhang zwischen Scheitelpunktkoordinaten und der Anzahl der Nullstellen verständlich erklärt

Anzahl der Nullstellen bei quadratischen Funktionen

• Die Anzahl der Nullstellen kann bei einer quadratischen Funktion keine, eine oder zwei sein. Außerdem stehen diese bei der Berechnung im Zusammenhang mit den Scheitelpunktkoordinaten.

• Der Scheitelpunkt befindet sich bei einer nach oben geöffneten Parabel an der tiefsten und bei einer nach unten geöffneten Parabel an der höchsten Stelle. Besitzen Parabeln eine Nullstelle, so ist diese gleichzusetzen mit den Scheitelpunktkoordinaten.

• Ist die Anzahl der Nullstellen dagegen zwei, befindet sich der Scheitelpunkt genau in der Mitte dieser beiden Punkte. Liegen sie beispielsweise bei x₁ = 4 und x₂ = 6, so berechnen Sie einfach 4 + 6 und teilen anschließend 10 durch 2. Die x-Koordinate ist gleich 5. Den y-Wert erhalten Sie, indem Sie x = 5 in die gegebene Funktion einsetzen.

Zusammenhang von Scheitelpunktkoordinaten und Nullstellen

• Der Zusammenhang zwischen Scheitelpunktkoordinaten und Nullstellen lässt sich mit verschiedenen Darstellungsmöglichkeiten erklären. Es gibt neben der Normalform noch die Linearfaktorenform und die Scheitelpunktform.

• Die Funktion f(x) = (x -4) (x -2) ist ein Beispiel für die Linearfaktorenform. Sie birgt den Vorteil, dass Sie die Nullstellen 4 und 2 direkt ablesen können.

• Die Umformung in die Normalform geschieht über das Auflösen der Klammern: f(x) = x²- 6x + 8.

• Bei der Umformung von der Normalform f(x) = x²- 6x + 8 in die Scheitelpunktform müssen Sie zunächst die 2er-Potenz beim ersten x, das zweite x und die +8 entfernen, sodass (x - 6) stehen bleibt. Durch Anwendung der binomischen Formel (x - 3)² und der anschließenden Ausmultiplizierung dieser erhalten Sie (x² - 6x + 9). Zum Schluss muss noch die +8 berücksichtigt werden. Sie erhalten bei  +9  und +8 die Differenz 1. Aus der Scheitelpunktform f(x) = ((x -3)²  -1) können die Scheitelpunktkoordinaten (3 /-1) abgelesen werden.

Exkurs - Berechnungen von Nullstellen

• Nullstellen können auf verschiedene Weisen ermittelt werden. Es gibt die Linearfaktorisierung (das Ausklammern), das Substitutionsverfahren und die Polynomdivision.

• Ist in der Funktion kein Absolutglied vorhanden, so wird die Linearfaktorisierung angewendet. Dies wäre z. B. bei der Funktion f(x) = x³ + 110 x² - 102600x der Fall. Im ersten Schritt kann ein x ausklammert werden, sodass x₁ = 0 ist: f(x) = x (x² + 110 x - 102600). Mithilfe der pq-Formel können danach die weiteren Stellen x₂ = -270 und für x₃ = 380 ermittelt werden.

• Weist Ihre Funktion nur gerade Exponenten auf, so können Sie das sogenannte Substitutionsverfahren anwenden. Achten Sie darauf, dass die Funktion zunächst in die Normalform gebracht wird. Dividieren Sie bei f(x) = 2x⁴ - 18x² also zunächst durch 2. Ihre erhaltene Funktion f(x) = x⁴ - 9x² muss anschließend so umgewandelt werden, dass Sie die pq-Formel anwenden können. Wenn Sie z. B. davon ausgehen, dass  u = x² ist, kann im nächsten Rechenschritt f(x) = u² - 9u die pq-Formel mit u angewendet werden. Vergessen Sie am Ende nicht, die Wurzel zu ziehen und das u wieder in x umzuwandeln. Ihre Nullstellen sind hier an den Stellen x₁= 3, x₂ = -3 und x₃;4 = 0 (sprich: doppelte Nullstelle an der Stelle 0).

• Bei Funktionen der Form f(x) = x³ - x² - 3x + 72 erhalten Sie durch Ausprobieren die erste Nullstelle bei x₁ = 3. Dies können Sie berechnen, wenn Sie (x³ - x² - 3x + 72) mit (x - 3) dividieren. Als Ergebnis erhalten Sie x² - 2x -24. Danach kann die pq-Formel angewendet werden. Die Ergebnisse x₂ = 6 und x₃ = -4 sind korrekt.