Gleichungen mit Klammern lösen - die Matheexpertin erklärt, wie es klappt

Einfache Klammern auflösen - so wird's gemacht

Unter dem Begriff "einfache Klammer" sollen Terme verstanden werden, die nur eine Klammer (und nicht mehrere) enthalten.

• Solche einfachen Klammern lassen sich in Gleichungen nach einer eigentlich ganz einfachen Regel auflösen: Multiplizieren Sie die Zahl vor der Klammer bzw. den Buchstaben vor der Klammer mit allen Teilen der Klammer. So lösen Sie zum Beispiel 3x(x+1) auf in 3x² (aus 3x_*x) + 3x.
• Ein Minuszeichen vor der Klammer behandeln Sie wie eine Multiplikation mit (-1). So wird aus -(3x+5) = -1_*(3x+5) = -3x - 5. Alternativ können Sie sich auch die Regel "Ein Minuszeichen dreht alle Vorzeichen in der Klammer" merken.
• Haben Sie der Reihe nach dann in der Gleichung alle Klammern aufgelöst, kommt der nächste Schritt: Sie müssen zusammenfassen. Auch hier gilt eine einfache Regel: Gleiches kann mit Gleichem zusammengefasst werden. Also alle Terme mit x (bzw. zusätzlich x²) können Sie zusammenzählen, dann alle Zahlen. Aufpassen, hier kann man sich schnell verrechnen!
• Anschließend lösen Sie die Gleichung nach einem Ihnen bekannten Verfahren.

Doppelte Klammern oder Binome in Gleichungen 

• Schwieriger wird die Sache, wenn in der Gleichung eine doppelte Klammer (Beispiel: (x-2)(2x+7))oder gar ein Binom (Beispiel: (x+1) oder) vorkommt.
• Aber auch hier gibt es einfache Regeln, diese Klammern zunächst aufzulösen.
• Bei einer doppelten Klammer oben müssen Sie zunächst jeden einzelnen Term der ersten Klammer mit jedem einzelnen der zweiten Klammer multiplizieren. Im Beispiel oben entstehen dabei vier Terme wie folgt: 2x² - 7x - 4x - 14.
• Und wenn ein Binom vorkommt, können Sie dieses entweder als doppelte Klammer schreiben (also (x+1)² = (x+1)(x+1)) und dann berechnen oder Sie beherrschen die Binomischen Formeln.
• Nachdem Sie nacheinander in diesen komplizierteren Gleichungen alle Klammern aufgelöst haben, müssen Sie wieder - wie oben bereits beschrieben - zusammenfassen. Und dann geht alles wie von selbst.

Gleichungen mit Klammern - zwei durchgerechnete Beispiele

Im Folgenden sollen zu den beiden dargestellten Fällen zwei Beispiele durchgerechnet werden, um die Verfahren zu veranschaulichen:

• Die Gleichung 3(2-4x) - 2(8x+5) = 0 enthält zwei einfache Klammern, die zunächst aufgelöst werden, beachten Sie dabei das Vorzeichen der zweiten Klammer. Sie erhalten 6 - 12 x - 16x - 10 = 0. Nun müssen Sie zusammenfassen (-12x - 16 x = -28 x und 6 - 10 = -4) und erhalten die einfache Gleichung -28x - 4 = 0 mit der Lösung x = -1/7 (keine Angst vor Brüchen!).
• Die Gleichung 2(x+3)² = x(x+9) - 46 enthält auf der linken Seite ein Binom, das zusätzlich noch mit 2 multipliziert wird und auf der rechten Seite eine einfache Klammer. Lösen Sie hier zunächst das Binom (x+3)² auf (Potenz geht vor Multiplikation) und Sie erhalten x² + 6x + 9. Dieses Ergebnis wird mit 2 multipliziert und Sie erhalten  2x² + 12x + 19 = x² + 9x - 46. Es handelt sich hier um eine quadratische Gleichung. Diese bringen Sie auf die Form "= 0" und wenden dann die pq-Formel an: x² +3x + 65 = 0.